Determine o polinômio caracteristico e o polinômio minimal.
Passo 1
O enunciado pede pra determinar o polinômio característico e o polinômio minimal da matriz A. Vamos usar a definição de polinômio característico pA(lambda)=det(lambda I - A) e a definição de polinômio minimal como o monico de menor grau que anula A (contendo todas as raízes autovalores com multiplicidade igual à máxima em blocos de Jordan).
Passo 2
Primeiro montamos a matriz lambda I - A e calculamos seu determinante por expansão de cofatores. Montando a matriz:
det(lambda I - A) = (lambda-1)lambda(lambda+1) + 2(lambda+1) = (lambda+1)l(lambda(lambda-1)+2r)
Fatorando o termo interno:
lambda(lambda-1)+2 = lambda^2 - lambda + 2,
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pA(lambda) = (lambda+1)(lambda^2 - lambda + 2)
Passo 4
Agora, esse polinômio já está monico e fatora os autovalores lambda=-1 e as raízes complexas de lambda^2-lambda+2=0. Como todos os fatores são distintos (multiplicidade 1), o polinômio minimal coincide com o característico, pois basta anular A com cada fator uma única vez.
Portanto o polinômio minimal é
mA(lambda) = (lambda+1)(lambda^2 - lambda + 2)
Resposta
Polinômio característico: pA(lambda)=(lambda+1)(lambda^2-lambda+2)=lambda^3+lambda+2. Polinômio minimal: mA(lambda)=(lambda+1)(lambda^2-lambda+2), pois os fatores são de multiplicidade 1.