Determine o polinômio caracteristico e o polinômio minimal.
A=[ccc1 & 0 & 2 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 0]

Passo 1

O enunciado pede pra determinar o polinômio característico e o polinômio minimal da matriz A. Vamos usar a definição de polinômio característico pA(lambda)=det(lambda I - A) e a definição de polinômio minimal como o monico de menor grau que anula A (contendo todas as raízes autovalores com multiplicidade igual à máxima em blocos de Jordan).

Passo 2

Primeiro montamos a matriz lambda I - A e calculamos seu determinante por expansão de cofatores. Montando a matriz:
lambda I - A = lambda - 1 & 0 & -2 0 & lambda + 1 & -1 1 & 0 & lambda
Expandindo o determinante pela primeira linha, temos:
det(lambda I - A) = (lambda-1)detlambda+1 & -10 & lambda + (-2)det0 & lambda+11 & 0

Passo 3

Calculando cada menor:
(lambda-1)( (lambda+1)lambda - 0) = (lambda-1)lambda(lambda+1),
(-2)l(0cdot0 - (lambda+1)cdot1r) = 2(lambda+1)
Somando,
det(lambda I - A) = (lambda-1)lambda(lambda+1) + 2(lambda+1) = (lambda+1)l(lambda(lambda-1)+2r)
Fatorando o termo interno:
lambda(lambda-1)+2 = lambda^2 - lambda + 2,
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pA(lambda) = (lambda+1)(lambda^2 - lambda + 2)

Passo 4

Agora, esse polinômio já está monico e fatora os autovalores lambda=-1 e as raízes complexas de lambda^2-lambda+2=0. Como todos os fatores são distintos (multiplicidade 1), o polinômio minimal coincide com o característico, pois basta anular A com cada fator uma única vez.
Portanto o polinômio minimal é
mA(lambda) = (lambda+1)(lambda^2 - lambda + 2)

Resposta

Polinômio característico: pA(lambda)=(lambda+1)(lambda^2-lambda+2)=lambda^3+lambda+2. Polinômio minimal: mA(lambda)=(lambda+1)(lambda^2-lambda+2), pois os fatores são de multiplicidade 1.

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