Determine o polinômio caracteristico e o polinômio minimal.
T: R^4 R^4 com T(x, y, z, w)=(3 x-4 z, 3 y+5 z,-z,-w)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o polinômio característico e o polinômio minimal da transformação linear
Tcolon R^4to R^4 dada por
T(x,y,z,w) = (3x-4z,;3y+5z,;-z,;-w)
O que vamos precisar:
– escrever a matriz de T na base canônica,
– calcular det(A - tI) para achar o polinômio característico,
– achar as dimensões dos espaços próprios para verificar se T é diagonalizável e daí obter o polinômio minimal.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3,e4 temos
T(e1)=(3,0,0,0), T(e2)=(0,3,0,0), T(e3)=(-4,5,-1,0), T(e4)=(0,0,0,-1)
Logo a matriz A de T é
A = 3 & 0 & -4 & 0 0 & 3 & 5 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1

Passo 3

Para o polinômio característico calculamos
chiA(t) = det(A - tI) = det 3 - t & 0 & -4 & 0 0 & 3 - t & 5 & 0 0 & 0 & -1-t & 0 0 & 0 & 0 & -1-t
Como é triangular por blocos,
chiA(t) = (3 - t)^2,(-1 - t)^2 =(t - 3)^2,(t + 1)^2

Passo 4

Os autovalores são 3 e -1, cada um com multiplicidade algébrica 2.

Passo 5

Calculamos as dimensões dos espaços próprios:
Para lambda=3:
A - 3I = 0&0&-4&0 0&0&5&0 0&0&-4&0 0&0&0&-4 ;Longrightarrow; ker(A-3I)=(v1,v2,0,0)cong R^2
Dimensão geométrica =2, igual à algébrica, logo bloco(s) de Jordan de tamanho 1.
Para lambda=-1:
A + I = 4&0&-4&0 0&4&5&0 0&0&0&0 0&0&0&0 ;Longrightarrow; ker(A+I) tem dimensão 2 ã
(tomando por exemplo (1,-tfrac54,1,0) e (0,0,0,1) como base).
Também aqui dimensão geométrica =2= algébrica, logo blocos de Jordan de tamanho 1.
Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica iguala a algébrica, A é diagonalizável.

Passo 6

Se A é diagonalizável, então o polinômio minimal é o produto dos fatores lineares distintos:
mA(t) = (t - 3),(t + 1)

Resposta

Polinômio característico:
chiA(t) = (t - 3)^2,(t + 1)^2
Polinômio minimal:
mA(t) = (t - 3),(t + 1)

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