Determine todos os autovalores \lambda \in \mathbb{R} com seus correspondentes subespaços associados (autoespaçõs) V_{\lambda}.
A=\left[\begin{array}{ccc}-5 & 1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & -1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}-5 & 1 & 2 \\[6pt] 0 & 3 & 1 \\[6pt] 0 & -1 & 3\end{pmatrix}
e pede todos os autovalores reais \lambda com seus autoespaços V_{\lambda}. Para isso, vamos calcular o polinômio característico \det(A - \lambda I), achar as raízes reais e, em seguida, resolver (A - \lambda I)v = 0 para cada \lambda.]

Passo 2

Subtraindo \lambda na diagonal e expandindo por Laplace na primeira coluna, obtemos
\det(A - \lambda I) = (-5 - \lambda)\,\det\!\begin{pmatrix}3-\lambda & 1 \\[3pt] -1 & 3-\lambda\end{pmatrix} = (-5 - \lambda)\bigl((3-\lambda)^2 -(-1)\cdot1\bigr) = (-5 - \lambda)\bigl((3-\lambda)^2 + 1\bigr).]

Passo 3

Para ser autovalor, \det(A - \lambda I)=0. Logo
(-5 - \lambda)\bigl((3-\lambda)^2 + 1\bigr)=0.
Dessa equação, sai \lambda = -5 ou (3-\lambda)^2 +1=0. Mas (3-\lambda)^2 +1=0 não tem solução real. Portanto, o único autovalor real é
\lambda = -5.

Passo 4

Agora determinamos o autoespaço V_{-5} = \ker(A + 5I)\). Temos \[A + 5I = \begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\[3pt] 0 & 8 & 1 \\[3pt] 0 & -1 & 8\end{pmatrix},
e o sistema homogêneo
\begin{cases} y + 2z = 0,\\\\ 8y + z = 0,\\\\ -\,y + 8z = 0 \end{cases}
Dessas equações segue z=0\], \(y=0, e x fica livre. Assim
V_{-5} = \{(x,0,0)\mid x\in\R\} = \mathrm{span}\{(1,0,0)\}.]

Resposta

\lambda = -5, \quad V_{-5} = \mathrm{span}\{(1,0,0)\}.

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