Determine o polinômio caracteristico e o polinômio minimal.
T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} onde T(x, y, z, t)=(3 x-4 z, 3 y+5 z,-z+t,-t)

Passo 1

O enunciado pede os polinômios característico e minimal da transformação linear
T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4,\quad T(x,y,z,t) = (3x-4z,\;3y+5z,\;-z+t,\;-t).
O plano de ataque será: (i) obter a matriz A de T na base canônica; (ii) calcular \chi_A(\lambda)=\det(\lambda I - A); (iii) determinar o polinômio minimal examinando as multiplicidades algébricas e geométricas dos autovalores.

Passo 2

Na base canônica \{e_1,e_2,e_3,e_4\} com coordenadas (x,y,z,t), a matriz A satisfaz
A \begin{pmatrix}x\y\z\t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x -4z\\\\ 3y +5z\\\\ -\,z + t\\\\ -\,t \end{pmatrix}.
Logo
A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -4 & 0\\\\ 0 & 3 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},
que é triangular superior.

Passo 3

Para matriz triangular superior, o polinômio característico é o produto dos termos \lambda - a_{ii}. Assim,
\chi_A(\lambda) = (\lambda-3)\,(\lambda-3)\,(\lambda+1)\,(\lambda+1) = (\lambda-3)^2\,(\lambda+1)^2.

Passo 4

Para o polinômio minimal, precisamos ver o tamanho dos blocos de Jordan:
  • No autovalor \lambda=3, a multiplicidade algébrica é 2. Resolvendo (A-3I)v=0 obtemos z=t=0 e x,y livres, ou seja, dimensão do espaço próprio igual a 2. Logo há dois blocos 1\times1.
  • No autovalor \lambda=-1, a multiplicidade algébrica é 2. Resolvendo (A+I)v=0 aparece apenas uma dimensão de autovetores, indicando um bloco de Jordan 2\times2.
Portanto, o fator (\lambda-3) aparece simples no minimal e (\lambda+1) aparece ao quadrado.

Resposta

O polinômio característico é
\chi_A(\lambda) = (\lambda-3)^2\,(\lambda+1)^2,
e o polinômio minimal é
m_A(\lambda) = (\lambda-3)\,(\lambda+1)^2.

Exercícios relacionados