Q15: Seja p(x)=-14-39 x+2 x^{2} e
\beta=\left\{3+6 x+3 x^{2}, \quad 2+6 x-2 x^{2}, \quad 1+3 x+x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinómios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -4
(B) 1
(C) -3
(D) 3
(E) -1
(F) 2
(G) 4
(H) -2

Passo 1

O enunciado dá o polinómio
p(x) = -14 - 39x + 2x^2
e a base \beta = \{\,\beta_1,\beta_2,\beta_3\} de \mathcal P_2, onde
\beta_1 = 3 + 6x + 3x^2,\quad \beta_2 = 2 + 6x - 2x^2,\quad \beta_3 = 1 + 3x + x^2.
Queremos as coordenadas [p]_\beta = (a,b,c) tais que
p(x) = a\,\beta_1 + b\,\beta_2 + c\,\beta_3,
e em particular o valor de c.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e igualando coeficientes em cada potência de x, obtemos o sistema
3a + 2b + c = -14,
6a + 6b + 3c = -39,
3a - 2b + c = 2.

Passo 3

Simplificamos a segunda equação dividindo por 3:
2a + 2b + c = -13.
Subtraindo-a da primeira 3a+2b+c=-14 vem
(3a+2b+c) - (2a+2b+c) = -14 - (-13) \quad\Longrightarrow\quad a = -1.

Passo 4

Substituindo a=-1 na equação simplificada
2(-1) + 2b + c = -13 \quad\Longrightarrow\quad 2b + c = -11 \quad\Longrightarrow\quad c = -11 - 2b,
e também em
3a - 2b + c = 2 \quad\Longrightarrow\quad 3(-1) - 2b + c = 2 \quad\Longrightarrow\quad c = 5 + 2b.

Passo 5

Igualando as duas expressões para c:
-11 - 2b = 5 + 2b \quad\Longrightarrow\quad 4b = -16 \quad\Longrightarrow\quad b = -4.
Então
c = 5 + 2(-4) = 5 - 8 = -3.

Resposta

-3 (alternativa C)

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