Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
são coplanares, então
pode ser LI.
II - Se
e
são todos LIs, então
é LI.
III - Se
é LD, então
não pode ser LI.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Apenas I e II são verdadeiras.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Todas são falsas.
(G) Apenas II e III são verdadeiras.
(H) Apenas III é verdadeira.
I - Se
II - Se
III - Se
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Apenas I e II são verdadeiras.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Todas são falsas.
(G) Apenas II e III são verdadeiras.
(H) Apenas III é verdadeira.
Passo 1
O enunciado dá um conjunto
com todos os vetores distintos e define
,
,
.
Precisamos avaliar as três afirmações usando conceitos de independência linear (LI) e dependência linear (LD) em e depois escolher a alternativa correta.
Precisamos avaliar as três afirmações usando conceitos de independência linear (LI) e dependência linear (LD) em
Passo 2
Analisando a afirmação I: “Se
são coplanares, então
pode ser LI.”
Coplanaridade significa que todos os vetores estão num mesmo plano de dimensão 2. Num subespaço de dimensão 2, qualquer conjunto de três vetores é necessariamente LD, pois o posto máximo é 2. Logo não é possível que três vetores coplanares em sejam LI.
Portanto, a afirmação I é falsa.
Coplanaridade significa que todos os vetores estão num mesmo plano de dimensão 2. Num subespaço de dimensão 2, qualquer conjunto de três vetores é necessariamente LD, pois o posto máximo é 2. Logo não é possível que três vetores coplanares em
Portanto, a afirmação I é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmação II: “Se
e
são todos LIs, então
é LI.”
Dizer que ,
e
são LI significa que nenhum par é colinear (nenhum vetor é múltiplo escalar de outro). Ainda assim, três vetores não colineares entre si podem ser coplanares e satisfazer
.
Exemplo concreto: ,
,
.
Cada par é LI, mas torna
LD.
Logo a afirmação II é falsa.
Dizer que
Exemplo concreto:
Cada par é LI, mas
Logo a afirmação II é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação III: “Se
é LD, então
não pode ser LI.”
Se é LD, então
para algum escalar
. Qualquer conjunto que contenha um subconjunto LD também é LD. Assim,
não pode ser LI.
Portanto, a afirmação III é verdadeira.
Se
Portanto, a afirmação III é verdadeira.
Passo 5
Concluímos que I é falsa, II é falsa e III é verdadeira. A única alternativa que indica “apenas III é verdadeira” é a (H).
Resposta
(H) Apenas III é verdadeira.