Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} são coplanares, então S pode ser LI.
II - Se A, B e C são todos LIs, então S é LI.
III - Se A é LD, então S não pode ser LI.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Apenas I e II são verdadeiras.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Todas são falsas.
(G) Apenas II e III são verdadeiras.
(H) Apenas III é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá um conjunto S=\{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} com todos os vetores distintos e define A=\{\vec v_{1},\vec v_{2}\}, B=\{\vec v_{1},\vec v_{3}\}, C=\{\vec v_{2},\vec v_{3}\}.
Precisamos avaliar as três afirmações usando conceitos de independência linear (LI) e dependência linear (LD) em \mathbb{R}^{3} e depois escolher a alternativa correta.

Passo 2

Analisando a afirmação I: “Se \vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3} são coplanares, então S pode ser LI.”
Coplanaridade significa que todos os vetores estão num mesmo plano de dimensão 2. Num subespaço de dimensão 2, qualquer conjunto de três vetores é necessariamente LD, pois o posto máximo é 2. Logo não é possível que três vetores coplanares em \mathbb{R}^{3} sejam LI.
Portanto, a afirmação I é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmação II: “Se A,B e C são todos LIs, então S é LI.”
Dizer que A, B e C são LI significa que nenhum par é colinear (nenhum vetor é múltiplo escalar de outro). Ainda assim, três vetores não colineares entre si podem ser coplanares e satisfazer \vec v_{1}+\vec v_{2}+\vec v_{3}=0.
Exemplo concreto: \vec v_{1}=(1,0,0), \vec v_{2}=(0,1,0), \vec v_{3}=(-1,-1,0).
Cada par é LI, mas \vec v_{1}+\vec v_{2}+\vec v_{3}=0 torna S LD.
Logo a afirmação II é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação III: “Se A é LD, então S não pode ser LI.”
Se A=\{\vec v_{1},\vec v_{2}\} é LD, então \vec v_{2}=c\,\vec v_{1} para algum escalar c. Qualquer conjunto que contenha um subconjunto LD também é LD. Assim, S não pode ser LI.
Portanto, a afirmação III é verdadeira.

Passo 5

Concluímos que I é falsa, II é falsa e III é verdadeira. A única alternativa que indica “apenas III é verdadeira” é a (H).

Resposta

(H) Apenas III é verdadeira.

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