Determine o polinômio caracteristico e o polinômio minimal.
T: \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) onde T\left(a+b x+c x^{2}\right)=5 a+(b-c) x^{2}

Passo 1

O enunciado define o operador linear T:\mathcal P_{2}(\mathbb R)\to\mathcal P_{2}(\mathbb R) por
T(a+bx+cx^2)=5a+(b-c)x^2.
Queremos encontrar o polinômio característico e o polinômio minimal de T. Para isso, vamos:
  1. Escolher a base canônica \{1,x,x^2\}.
  2. Obter a matriz de T nessa base.
  3. Calcular \det(T-\lambda I) para o polinômio característico.
  4. Determinar o polinômio minimal verificando a multiplicidade dos autovalores.

Passo 2

Aplicamos T aos vetores da base e encontramos as colunas da matriz: T(1)=5\cdot1+0\cdot x+0\cdot x^2=5, T(x)=0\cdot1+0\cdot x+1\cdot x^2=x^2, T(x^2)=0\cdot1+0\cdot x-1\cdot x^2=-x^2.
Logo, a matriz de T em \{1,x,x^2\} é
A=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para o polinômio característico calculamos
\chi_T(\lambda)=\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 5-\lambda & 0 & 0\\\\ 0 & -\lambda & 0\\\\ 0 & 1 & -1-\lambda \end{pmatrix} =(5-\lambda)\bigl(-\lambda\bigr)\bigl(-1-\lambda\bigr).
Reescrevendo de forma monica,
\chi_T(\lambda)=(\lambda-5)\,\lambda\,(\lambda+1).

Passo 4

Os autovalores são \lambda=5, \lambda=0 e \lambda=-1, todos distintos. Num caso em que os autovalores são simples, o polinômio minimal é exatamente o produto dos fatores lineares correspondentes, em grau mínimo, ou seja,
m_T(\lambda)=(\lambda-5)\,\lambda\,(\lambda+1).

Resposta

O polinômio característico é
\chi_T(\lambda)=(\lambda-5)\,\lambda\,(\lambda+1)
e o polinômio minimal é
m_T(\lambda)=(\lambda-5)\,\lambda\,(\lambda+1).

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