Determine o polinômio caracteristico e o polinômio minimal. T: \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) onde T\left(a+b x+c x^{2}\right)=5 a+(b-c) x^{2}
Passo 1
O enunciado define o operador linear T:\mathcal P_{2}(\mathbb R)\to\mathcal P_{2}(\mathbb R) por
T(a+bx+cx^2)=5a+(b-c)x^2.
Queremos encontrar o polinômio característico e o polinômio minimal de T. Para isso, vamos:
Escolher a base canônica \{1,x,x^2\}.
Obter a matriz de T nessa base.
Calcular \det(T-\lambda I) para o polinômio característico.
Determinar o polinômio minimal verificando a multiplicidade dos autovalores.
Passo 2
Aplicamos T aos vetores da base e encontramos as colunas da matriz: T(1)=5\cdot1+0\cdot x+0\cdot x^2=5, T(x)=0\cdot1+0\cdot x+1\cdot x^2=x^2, T(x^2)=0\cdot1+0\cdot x-1\cdot x^2=-x^2.
Logo, a matriz de T em \{1,x,x^2\} é
Os autovalores são \lambda=5, \lambda=0 e \lambda=-1, todos distintos. Num caso em que os autovalores são simples, o polinômio minimal é exatamente o produto dos fatores lineares correspondentes, em grau mínimo, ou seja,