Sejam v_{1}, v_{2} e v_{3} vetores em \mathbb{R}^{3} com pontos iniciais na origem. Em cada item, determine se os três vetores estão num mesmo plano.
v_{1}=(2,-2,0), v_{2}=(6,1,4), v_{3}=(2,0,-4)

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em \mathbb{R}^3 com ponto inicial na origem:
v_{1}=(2,-2,0),\quad v_{2}=(6,1,4),\quad v_{3}=(2,0,-4).
O conteúdo é verificar se três vetores estão no mesmo plano que passa pela origem, ou seja, se eles são linearmente dependentes. Para isso, vamos usar o produto misto (determinante da matriz cujas colunas são os vetores).

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são v_{1}, v_{2} e v_{3}:
A = \begin{pmatrix} 2 & 6 & 2\\\\ -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 4 & -4 \end{pmatrix}.
Os vetores são coplanares se, e somente se, \det(A)=0.

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
\det(A) = 2\bigl(1\cdot(-4)-0\cdot4\bigr) -6\bigl((-2)\cdot(-4)-0\cdot0\bigr) +2\bigl((-2)\cdot4-1\cdot0\bigr).
Agora,
2\bigl(-4\bigr)-6\bigl(8\bigr)+2\bigl(-8\bigr) = -8 -48 -16 = -72.

Passo 4

Como \det(A) = -72 \neq 0, os vetores são linearmente independentes e, portanto, não ficam todos num mesmo plano que passe pela origem.

Resposta

Os vetores v_{1}, v_{2} e v_{3} não estão num mesmo plano.

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