Quais dos seguintes subconjuntos de vetores em \mathbb{P}_{2} são linearmente dependentes? p_{1}(x)=6-x^{2}, p_{2}(x)=1-x-4 x^{2}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o subconjunto \{p_{1},p_{2}\}\subset\mathbb{P}_{2}, em que
p_{1}(x)=6 - x^{2},\quad p_{2}(x)=1 - x - 4x^{2},
é linearmente dependente ou independente. Para isso, vamos montar uma combinação linear
a\,p_{1}(x) + b\,p_{2}(x) = 0
e buscar se existem a,b não nulos que façam essa identidade.
Passo 2
Escrevendo a combinação linear explicitamente:
a\,(6 - x^{2}) + b\,(1 - x - 4x^{2}) = 0.
Expandindo,
6a + a(-x^{2}) + b - b\,x - 4b\,x^{2} = 0,
ou seja,
(6a + b) + (-b)\,x + (-a - 4b)\,x^{2} = 0.
Passo 3
Para que esse polinômio seja o polinômio zero, seus coeficientes devem todos ser zero. Portanto, obtemos o sistema
\begin{cases} 6a + b = 0,\\\\ -b = 0,\\\\ -a - 4b = 0. \end{cases}
Passo 4
Da segunda equação vem b=0. Substituindo em 6a + b =0 obtemos 6a=0, logo a=0. A terceira equação fica -a-4b=0, que também é satisfeita por a=b=0. Portanto, a única solução é a trivial (a,b)=(0,0), o que mostra que p_{1} e p_{2} são linearmente independentes.
Resposta
Não há subconjunto linearmente dependente; o conjunto \{p_{1},p_{2}\} é linearmente independente.