Seja V=M_{3 \times 3}(\mathbb{R}). Mostre que
W_{1}=\left\{A \in M_{3 \times 3}(\mathbb{R}): A \text { é uma matriz triangular superior }\right\}é
e
W_{2}=\left\{A \in M_{3 \times 3}(\mathbb{R}): A \text { é uma matriz triangular inferior }\right\}é
são subespaços vetoriais de V. O conjunto dado por W_{1} \cap W_{2} é um subespaço de V ? Qual é esse conjunto?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os conjuntos
W_{1}=\{A\in M_{3\times3}(\mathbb{R}):A\text{ é triangular superior}\}é
e
W_{2}=\{A\in M_{3\times3}(\mathbb{R}):A\text{ é triangular inferior}\}é
são subespaços de V=M_{3\times3}(\mathbb{R}). Precisamos usar o teste de subespaço vetorial: verificar que cada conjunto contém a matriz zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar. Em seguida, identificar e discutir W_{1}\cap W_{2}.

Passo 2

Mostrando que W_{1} é subespaço.
  1. A matriz zero 0 tem todos os elementos abaixo da diagonal iguais a zero, logo 0\in W_{1}.
  2. Sejam A,B\in W_{1}. Então, para todo i>j, temos (A)_{ij}=0 e (B)_{ij}=0. Assim,
(A+B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij} = 0 + 0 = 0,
de modo que A+B também é triangular superior.
3. Para \lambda\in\mathbb{R} e A\in W_{1},
(\lambda A)_{ij} = \lambda\,(A_{ij}) = \lambda\cdot0 = 0 \quad\text{para }i>j,
logo \lambda A é triangular superior. Portanto, W_{1} passa no teste e é subespaço de V.

Passo 3

Mostrando que W_{2} é subespaço.
  1. A matriz zero também satisfaz todos os elementos acima da diagonal nulos, então 0\in W_{2}.
  2. Se A,B\in W_{2}, então para todo i<j vale (A)_{ij}=(B)_{ij}=0, logo
(A+B)_{ij} = 0+0 = 0,
e A+B é triangular inferior.
3. Para escalar \lambda e A\in W_{2},
(\lambda A)_{ij} = \lambda\,(A_{ij}) = 0 \quad\text{para }i<j,
assim \lambda A é triangular inferior. Concluímos que W_{2} é subespaço.

Passo 4

Determinação de W_{1}\cap W_{2}. A interseção contém exatamente as matrizes que são simultaneamente triangular superior e triangular inferior. Isso força todos os elementos fora da diagonal principal a serem zero. Portanto,
W_{1}\cap W_{2} = \{A\in M_{3\times3}(\mathbb{R}):A\text{ é diagonal}\}.é
Como interseção de subespaços é subespaço, esse conjunto também é subespaço de V.

Resposta

W_{1} e W_{2} são subespaços de V. W_{1}\cap W_{2} é o subespaço das matrizes diagonais de M_{3\times3}(\mathbb{R}).

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