Seja
. Mostre que
e
são subespaços vetoriais de
. O conjunto dado por
é um subespaço de
? Qual é esse conjunto?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os conjuntos
e
são subespaços de
. Precisamos usar o teste de subespaço vetorial: verificar que cada conjunto contém a matriz zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar. Em seguida, identificar e discutir
.
Passo 2
Mostrando que
é subespaço.
- A matriz zero
tem todos os elementos abaixo da diagonal iguais a zero, logo . - Sejam
. Então, para todo , temos e . Assim,
de modo que
também é triangular superior.
3. Para e
,
3. Para
logo
é triangular superior. Portanto,
passa no teste e é subespaço de
.
Passo 3
Mostrando que
é subespaço.
- A matriz zero também satisfaz todos os elementos acima da diagonal nulos, então
. - Se
, então para todo vale , logo
e
é triangular inferior.
3. Para escalar e
,
3. Para escalar
assim
é triangular inferior. Concluímos que
é subespaço.
Passo 4
Determinação de
. A interseção contém exatamente as matrizes que são simultaneamente triangular superior e triangular inferior. Isso força todos os elementos fora da diagonal principal a serem zero. Portanto,
Como interseção de subespaços é subespaço, esse conjunto também é subespaço de
.