Seja
um espaço vetorial de dimensão finita. Como é o polinômio caraterístico do operador nulo sobre
? Quais os autovalores e autovetores?
Passo 1
O enunciado pede o polinômio característico, os autovalores e os autovetores do operador nulo
em um espaço vetorial
de dimensão finita. O conteúdo envolvido é autovalor e autovetor de operadores lineares, usando a definição
onde
é a matriz de
numa base de
.
Passo 2
Escolhemos uma base arbitrária de
. Na base escolhida, a matriz de
é a matriz nula
, onde
. Assim
Passo 3
Como
, segue
Passo 4
Os autovalores são as raízes de
. A única raiz é
com multiplicidade algébrica igual a
.
Passo 5
Os autovetores associados a
satisfazem
logo qualquer vetor
satisfaz essa equação. Por definição de autovetor, tomamos todos os
em
.
Resposta
O polinômio característico é
.
O único autovalor é (multiplicidade
).
Os autovetores são todos os vetores não-nulos de .
O único autovalor é
Os autovetores são todos os vetores não-nulos de