Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Como é o polinômio caraterístico do operador nulo sobre V ? Quais os autovalores e autovetores?

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico, os autovalores e os autovetores do operador nulo N em um espaço vetorial V de dimensão finita. O conteúdo envolvido é autovalor e autovetor de operadores lineares, usando a definição
pT(lambda)=det(lambda I - [T])
onde [T] é a matriz de T numa base de V.

Passo 2

Escolhemos uma base arbitrária de V. Na base escolhida, a matriz de N é a matriz nula 0ntimes n, onde n=dim(V). Assim
pN(lambda)=detl(lambda In - 0ntimes nr)

Passo 3

Como lambda In-0ntimes n=lambda In, segue
pN(lambda)=det(lambda In)=lambda^n

Passo 4

Os autovalores são as raízes de pN(lambda)=0. A única raiz é
lambda=0,
com multiplicidade algébrica igual a n.

Passo 5

Os autovetores associados a lambda=0 satisfazem
N(v)=0cdot v;Longrightarrow;0=0,
logo qualquer vetor vin V satisfaz essa equação. Por definição de autovetor, tomamos todos os vneq0 em V.

Resposta

O polinômio característico é lambda^n.
O único autovalor é lambda=0 (multiplicidade n).
Os autovetores são todos os vetores não-nulos de V.

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