Determine o polinômio de grau 2 que melhor se ajusta aos pontos (-1,0),(0,-1),(1,1) e (2,4) de R^2.

Passo 1

O enunciado pede um polinômio de grau 2
que “melhor se ajusta” aos quatro pontos em . Como temos mais pontos (4) do que coeficientes (3), vamos usar o método dos mínimos quadrados, montando a matriz de desenho e o vetor de observações , e então resolver as equações normais

Passo 2

Para cada ponto (xi,yi) montamos a linha l[xi^2,;xi,;1r] em A e ,yi em y. Com (x,y)=(-1,0),(0,-1),(1,1),(2,4) temos
A = (-1)^2 & -1 & 1 0^2 & 0 & 1 1^2 & 1 & 1 2^2 & 2 & 1 = 1 & -1 & 1 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 4 & 2 & 1 , y = 0-114

Passo 3

Calculamos
A^T A = sum xi^4 & sum xi^3 & sum xi^2 sum xi^3 & sum xi^2 & sum xi sum xi^2 & sum xi & 4 = 18 & 8 & 6 8 & 6 & 2 6 & 2 & 4 ,
A^T y = sum xi^2 yi sum xi yi sum yi = 17 9 4

Passo 4

Escrevemos as equações normais
Fazendo eliminação para obtemos

Passo 5

Substituindo em p(x)=a x^2 + b x + c temos o polinômio procurado.

Resposta

p(x)=x^2 + tfrac25,x - tfrac710

Exercícios relacionados