Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita. Considere um produto interno em V :
lang<=,rang<=: V times V R
Enuncie o Teorema Espectral.

Passo 1

O enunciado define um espaço vetorial real de dimensão finita V equipado com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= e pede o enunciado do Teorema Espectral, que trata da diagonalização de operadores lineares auto-adjuntos e de matrizes simétricas.

Passo 2

Recordamos que um operador linear T:Vto V é auto-adjunto se
lang<= T(v),wrang<= = lang<= v,T(w)rang<=
para todos v,win V. O Teorema Espectral dá condições necessárias e suficientes para que T seja diagonalizável por uma base ortonormal.

Passo 3

O Teorema Espectral afirma que T é auto-adjunto se e somente se existe uma base ortonormal de V formada por autovetores de T, e todos os autovalores de T são reais. Nesta base, a matriz de T é diagonal com entradas reais. Equivalentemente, toda matriz real simétrica A admite decomposição
A = P,D,P^T,
onde P é ortogonal e D é diagonal real.

Resposta

Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= e T:Vto V um operador linear. Então T é auto-adjunto, isto é,
lang<= T(v),wrang<= = lang<= v,T(w)rang<=
para todos v,win V, se e somente se existe uma base ortonormal de V constituída por autovetores de T. Nesse caso, todos os autovalores de T são reais e, na base ortonormal de autovetores, a matriz de T é diagonal com entradas reais. Equivalentemente, para toda matriz real simétrica A existe matriz ortogonal P e matriz diagonal real D tais que
A = P,D,P^T

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