Seja
um espaço vetorial real de dimensão finita. Considere um produto interno em
:
Enuncie o Teorema Espectral.
Passo 1
O enunciado define um espaço vetorial real de dimensão finita
equipado com produto interno
e pede o enunciado do Teorema Espectral, que trata da diagonalização de operadores lineares auto-adjuntos e de matrizes simétricas.
Passo 2
Recordamos que um operador linear
é auto-adjunto se
para todos
. O Teorema Espectral dá condições necessárias e suficientes para que
seja diagonalizável por uma base ortonormal.
Passo 3
O Teorema Espectral afirma que
é auto-adjunto se e somente se existe uma base ortonormal de
formada por autovetores de
, e todos os autovalores de
são reais. Nesta base, a matriz de
é diagonal com entradas reais. Equivalentemente, toda matriz real simétrica
admite decomposição
onde
é ortogonal e
é diagonal real.
Resposta
Seja
um espaço vetorial real de dimensão finita com produto interno
e
um operador linear. Então
é auto-adjunto, isto é,
para todos
, se e somente se existe uma base ortonormal de
constituída por autovetores de
. Nesse caso, todos os autovalores de
são reais e, na base ortonormal de autovetores, a matriz de
é diagonal com entradas reais. Equivalentemente, para toda matriz real simétrica
existe matriz ortogonal
e matriz diagonal real
tais que