Seja W=[1, t^2]. Determine o polinômio de W que melhor se aproxima de f(t)=t^3-t.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio P(t) em W=span1,t^2 que melhor aproxima
f(t)=t^3-t no sentido dos mínimos quadrados em [-1,1].
Aqui o conteúdo é projeção ortogonal em espaço de Hilbert com produto interno
lang<= g,hrang<= = integral-1^1g(t),h(t),dt

Passo 2

Vamos escrever
P(t)=a + b,t^2
e impor que o erro f-P seja ortogonal a cada gerador de W, isto é
lang<= f-P,1rang<= = 0, lang<= f-P,t^2rang<= = 0

Passo 3

Calculamos os produtos internos necessários:
lang<=1,1rang<==integral-1^11,dt=2, lang<= t^2,1rang<==integral-1^1t^2,dt=tfrac23, lang<= t^2,t^2rang<==integral-1^1t^4,dt=tfrac25
Como f é ímpar e 1, t^2 são pares, temos
lang<= f,1rang<= =integral-1^1(t^3-t),dt=0, lang<= f,t^2rang<= =integral-1^1(t^3-t),t^2,dt=0

Passo 4

As equações normais ficam
2a + tfrac23b = 0, tfrac23a + tfrac25b = 0
Da primeira obtemos a=-(1/3)b. Substituindo na segunda dá
-tfrac29b + tfrac25b = 0 ;Longrightarrow; b=0 ;Longrightarrow; a=0

Passo 5

Logo o polinômio de W projetado sobre f é
P(t)=0

Resposta

P(t)=0.

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