Seja
. Determine o polinômio de
que melhor se aproxima de
.
Passo 1
O enunciado pede o polinômio
em
que melhor aproxima
no sentido dos mínimos quadrados em
.
Aqui o conteúdo é projeção ortogonal em espaço de Hilbert com produto interno
Aqui o conteúdo é projeção ortogonal em espaço de Hilbert com produto interno
Passo 2
Vamos escrever
e impor que o erro
seja ortogonal a cada gerador de
, isto é
Passo 3
Calculamos os produtos internos necessários:
Como
é ímpar e
,
são pares, temos
Passo 4
As equações normais ficam
Da primeira obtemos
. Substituindo na segunda dá
Passo 5
Logo o polinômio de
projetado sobre
é