Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita. Considere um produto interno em V :
lang<=,rang<=: V times V R
Dados w, v in V, com v neq 0, a projeção ortogonal de w na direção de v, denotada por projv(w), é o vetor paralelo a v tal que w-projv(w) é perpendicular a v. Deduza a fórmula para projv(w) em termos de v, w e lang<=, rang<= e prove que a função projv: V V, w mapsto projv(w)çã é linear.

Passo 1

O enunciado trabalha num espaço vetorial real V de dimensão finita equipado com um produto interno lang<=,,,rang<=. Para vneq0 e win V, a projeção ortogonal projv(w) é definida como o vetor paralelo a v que faz com que w-projv(w) seja perpendicular a v. Vamos usar as propriedades de bilinearidade e simetria do produto interno para (1) encontrar um escalar alpha tal que projv(w)=alpha v e (2) mostrar que a aplicação wmapstoprojv(w) é linear.

Passo 2

Suponha que
projv(w)=alpha,v
para algum alphainR. Pela definição,
w-alpha vperp;v
isto é,
lang<=,w-alpha v,;vrang<= = 0
Pela bilinearidade e simetria do produto interno segue
0 = lang<= w,vrang<= - alpha,lang<= v,vrang<= Longrightarrow alpha = lang<= w,vrang<=lang<= v,vrang<=
Logo a fórmula da projeção é
boxed projv(w) = lang<= w,vrang<=lang<= v,vrang<=;v

Passo 3

Para provar que projv:Vto V é linear, tomemos w1,w2in V e a,binR. Usando a fórmula e a bilinearidade do produto interno,
projvl(a,w1 + b,w2r) = lang<=,a,w1 + b,w2,;vrang<=lang<= v,vrang<=;v = a,lang<= w1,vrang<= + b,lang<= w2,vrang<=lang<= v,vrang<=;v = a,lang<= w1,vrang<=lang<= v,vrang<=,v + b,lang<= w2,vrang<=lang<= v,vrang<=,v = a,projv(w1) + b,projv(w2)
Isso mostra exatamente que projv preserva soma e multiplicação por escalar, ou seja, é um operador linear.

Resposta

projv(w) = lang<= w,vrang<=lang<= v,vrang<=;v e projv:Vto V
é linear.

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