Seja
um espaço vetorial real de dimensão finita. Considere um produto interno em
:
Dados
, com
, a projeção ortogonal de
na direção de
, denotada por
, é o vetor paralelo a
tal que
é perpendicular a
. Deduza a fórmula para
em termos de
e
,
é linear.
Passo 1
O enunciado trabalha num espaço vetorial real
de dimensão finita equipado com um produto interno
. Para
e
, a projeção ortogonal
é definida como o vetor paralelo a
que faz com que
seja perpendicular a
. Vamos usar as propriedades de bilinearidade e simetria do produto interno para (1) encontrar um escalar
tal que
e (2) mostrar que a aplicação
é linear.
Passo 2
Suponha que
para algum
. Pela definição,
isto é,
Pela bilinearidade e simetria do produto interno segue
Logo a fórmula da projeção é
Passo 3
Para provar que
é linear, tomemos
e
. Usando a fórmula e a bilinearidade do produto interno,
Isso mostra exatamente que
preserva soma e multiplicação por escalar, ou seja, é um operador linear.
Resposta
é linear.