Encontrar a derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=4 sen xx^5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada da função f(x) = 4 sin xx^5 . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente sobre como derivar funções que são frações. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente, que é um método para derivar funções que são divisões de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra do quociente. Se você tem uma função que é o quociente de duas funções, ou seja, u(x)v(x) , a derivada dela é dada por:
( uv )' = u'v - uv'v^2
Então, vamos identificar quem são u(x) e v(x) na nossa função.

Passo 3

Na nossa função f(x) = 4 sin xx^5 , temos:
u(x) = 4 sin x
v(x) = x^5
Agora, precisamos encontrar as derivadas de u(x) e v(x) .

Passo 4

Vamos derivar u(x) e v(x) :
u'(x) = 4 cos x
v'(x) = 5x^4
Agora que temos as derivadas, substituímos na fórmula da regra do quociente.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) = u'v - uv'v^2 = (4 cos x)(x^5) - (4 sin x)(5x^4)(x^5)^2
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 6

Simplificando o numerador:
4 cos x cdot x^5 - 4 sin x cdot 5x^4 = 4x^5 cos x - 20x^4 sin x
E o denominador:
(x^5)^2 = x^10
Então, a derivada fica:
f'(x) = 4x^5 cos x - 20x^4 sin xx^10

Passo 7

Podemos fatorar x^4 no numerador para simplificar ainda mais:
f'(x) = x^4(4x cos x - 20 sin x)x^10 = 4x cos x - 20 sin xx^6
Podemos também fatorar 4 no numerador:
f'(x) = 4(x cos x - 5 sin x)x^6 = x cos x - 5 sin xx^6/4 = x cos x - 5 sin x4x^6

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 4x cos x - 20 sin xx^6

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