Determine o polinômio de Taylor, de ordem 5 , de g(x)=arctan x em volta de 0 .

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 5 (Maclaurin) para g(x)=arctan x em torno de 0. Para isso vamos usar a definição do polinômio de Taylor de ordem n em torno de 0:
Pn(x)=sumk=0^ng^(k)(0)k!,x^k,
e calcular as derivadas de g em 0 até a quinta ordem.

Passo 2

Calculemos as primeiras derivadas de g(x)=arctan x:
g'(x)=11+x^2, g''(x)=-2x(1+x^2)^2, g'''(x)=-21-3x^2(1+x^2)^3,
g''''(x)=24,x(x^2-1)(1+x^2)^4, g^(5)(x)=24,1-10x^2+5x^4(1+x^2)^5

Passo 3

Avalie cada derivada em x=0:
g(0)=0, g'(0)=1, g''(0)=0, g'''(0)=-2, g''''(0)=0, g^(5)(0)=24
Agora calculemos os coeficientes g^(k)(0)k!:
g(0)0!=0, g'(0)1!=1, g''(0)2!=0, g'''(0)3!=-26=-13,
g''''(0)4!=0, g^(5)(0)5!=24120=15

Passo 4

Montamos o polinômio de Taylor de ordem 5 usando apenas os termos de coeficiente não nulo:
P5(x)=0 + 1cdot x + 0cdot x^2 -13x^3 + 0cdot x^4 + 15x^5
Logo,
P5(x)=x - x^33 + x^55

Resposta

P5(x)=x - x^33 + x^55

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