Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de f em torno de (\mathrm{x}_{0})
raizx em torno de 4

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 5 da função
f(x)=raizx
em torno de x0=4. Vamos usar a fórmula
T5(x)=sumk=0^5f^(k)(4)k!,(x-4)^k,
isto é, precisamos calcular as derivadas de f até a quinta ordem, avaliá-las em x=4 e depois construir o polinômio.

Passo 2

Derivadas de primeira ordem e avaliação em 4.
f(x)=x^1/2, f'(x)=tfrac12,x^-1/2
Logo
f(4)=2, f'(4)=tfrac14

Passo 3

Derivadas de segunda e terceira ordem e avaliação em 4.
f''(x)=-tfrac14,x^-3/2, f'''(x)=tfrac38,x^-5/2
Portanto
f''(4)=-tfrac132, f'''(4)=tfrac3256

Passo 4

Derivadas de quarta e quinta ordem e avaliação em 4.
f^(4)(x)=-tfrac1516,x^-7/2, f^(5)(x)=tfrac10532,x^-9/2
Logo
f^(4)(4)=-tfrac152048, f^(5)(4)=tfrac10516384

Passo 5

Cálculo dos coeficientes f^(k)(4)k! para k=0,dots,5:
f(4)0!=2, f'(4)1!=tfrac14, f''(4)2!=-tfrac164,
f'''(4)3!=tfrac1512, f^(4)(4)4!=-tfrac516384, f^(5)(4)5!=tfrac7131072

Passo 6

Montamos então o polinômio de Taylor de ordem 5:
T5(x) =2 +tfrac14,(x-4) -tfrac164,(x-4)^2 +tfrac1512,(x-4)^3 -tfrac516384,(x-4)^4 +tfrac7131072,(x-4)^5

Resposta

T5(x) =2 +14(x-4) -164(x-4)^2 +1512(x-4)^3 -516384(x-4)^4 +7131072(x-4)^5

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