Resolva o problema de valor inicial:
l 3 x^2+4 x y+(2 x^2+2 y) d yd x=0 y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
3x^2+4xy+(2x^2+2y)dydx=0
com condição inicial y(1)=0.
Isso é uma equação na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
onde M=3x^2+4xy e N=2x^2+2y. Vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, achar uma função potencial phi(x,y).

Passo 2

Reescrevendo
M(x,y)=3x^2+4xy, N(x,y)=2x^2+2y
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=4x, partial Npartial x=4x
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M e partial phipartial y=N
Integramos M em relação a x:
phi(x,y)=integral(3x^2+4xy),dx = x^3+2x^2y + h(y),
onde h(y) é função só de y. Derivando em relação a y e igualando a N temos
partial phipartial y=2x^2+h'(y)=2x^2+2y ;Longrightarrow; h'(y)=2y ;Longrightarrow; h(y)=y^2
Logo
phi(x,y)=x^3+2x^2y+y^2
A solução implícita é
phi(x,y)=C ;Longrightarrow; x^3+2x^2y+y^2=C

Passo 4

Usando y(1)=0, obtemos
1^3+2cdot1^2cdot0+0^2=C ;Longrightarrow; C=1
Portanto a solução implícita é
x^3+2x^2y+y^2=1

Passo 5

Para escrever y explicitamente, resolvemos
y^2+2x^2y+(x^3-1)=0
em y. Pela fórmula de Bhaskara,
y=-2x^2pmraiz4x^4-4(x^3-1)2 =-x^2pmraizx^4-x^3+1
Como y(1)=0, escolhemos o sinal “ +” para que em x=1 venha 0. Logo
y(x)=-x^2+raizx^4-x^3+1

Resposta

y(x)=-x^2+raizx^4-x^3+1

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