Resolva o PVI:
x sin (y)+(x^2+1) cos (y) d yd x=0, y(1)=pi / 2
Verifique que a equação não é exata. (Sugestão: Use que mu(y)=sin y é um fator integrante ou que a equação é separável.)

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
xsin(y)+l(x^2+1r)cos(y),dydx=0, y(1)=pi2,
que podemos escrever em forma diferencial
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
com
M(x,y)=xsin(y), N(x,y)=(x^2+1)cos(y)
O conteúdo é EDO de primeira ordem não exata, e a sugestão é usar o fator integrante mu(y)=sin(y).

Passo 2

Verificamos que a equação não é exata calculando
partial Mpartial y =xcos(y), partial Npartial x =2xcos(y),
e de fato xcos(y)neq2xcos(y). Logo, não é exata.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(y)=sin(y). Então
tilde M(x,y)=xsin^2(y), tilde N(x,y)=(x^2+1)sin(y)cos(y)
Agora
partial tilde Mpartial y =2xsin(y)cos(y), partial tilde Npartial x =2xsin(y)cos(y),
logo a equação se torna exata.

Passo 4

Como é exata, existe Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x =tilde M(x,y) =xsin^2(y)
Integrando em x com y fixa,
Psi(x,y) =integral xsin^2(y),dx =x^22,sin^2(y)+h(y)

Passo 5

Para determinar h(y), usamos
partial Psipartial y =x^2sin(y)cos(y)+h'(y) =tilde N(x,y) =(x^2+1)sin(y)cos(y)
Logo
h'(y)=sin(y)cos(y),
e integrando em y vem
h(y)=sin^2(y)2+C0

Passo 6

Assim a função potencial geral é
Psi(x,y) =x^22sin^2(y)+12sin^2(y) =x^2+12,sin^2(y),
e a solução implícita é
Psi(x,y)=K ;Longrightarrow; (x^2+1),sin^2(y)=C,
com C=2K.

Passo 7

Aplicando a condição y(1)=pi/2, temos
(1^2+1)sin^2!l(tfracpi2r) =2cdot1=2,
logo C=2. Logo
sin^2(y)=2x^2+1 Longrightarrow sin(y)=raiz2x^2+1,
e, tomando o ramo que passa por y(1)=pi/2,

Resposta

y(x) =arcsin!l(raiztfrac2x^2+1r)

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