Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de
e usando um software desenhe os gráficos da função e do polinômio de Taylor numa vizinhança do ponto especificado.
em torno de 1
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem
de
em torno de
. Para isso vamos precisar de
,
e
, depois montar
Passo 2
Calculemos as derivadas de
:
Avalie em
:
Passo 3
Substituindo em
vem
Passo 4
Para comparar graficamente
e
numa vizinhança de
, por exemplo em
, pode-se usar Pytho
atplotlib:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x \(=\) np.linspace(\(0.5\), \(2\), \(200\))
f \(=\) x**(\(1\)/\(3\))
T\(2=1+\) (x-\(1\))/\(3\) - (x-\(1\))**\(2\)/\(9\)
plt.plot(x, f, label\(=\)'f(x)\(= x^{1/3}\)')
plt.plot(x, T\(2\), '--', label\(=\)'\(T_2\)(x)')
plt.axvline(\(1\), color\(=\)'gray', lw\(=0.5\))
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('f(x) e seu polinômio de Taylor de \(2\)ª ordem em x\(=1\)')
plt.grid(True)
plt.show()
Isso mostra que
aproxima bem
perto de
e começa a divergir conforme nos afastamos.