Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de x0 e usando um software desenhe os gráficos da função e do polinômio de Taylor numa vizinhança do ponto especificado.
raiz[3]x em torno de 1

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 2 de f(x)=raiz[3]x=x^1/3 em torno de x0=1. Para isso vamos precisar de f(1), f'(1) e f''(1), depois montar
T2(x)=f(1)+f'(1),(x-1)+f''(1)2(x-1)^2

Passo 2

Calculemos as derivadas de f(x)=x^1/3:
f'(x)=13x^-2/3, f''(x)=-29x^-5/3
Avalie em x=1:
f(1)=1^1/3=1, f'(1)=13, f''(1)=-29

Passo 3

Substituindo em
T2(x)=1+13(x-1)+-2/92(x-1)^2
vem
T2(x)=1+13(x-1)-19(x-1)^2

Passo 4

Para comparar graficamente e numa vizinhança de , por exemplo em , pode-se usar Pytho atplotlib:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x \(=\) np.linspace(\(0.5\), \(2\), \(200\))
f \(=\) x**(\(1\)/\(3\))
T\(2=1+\) (x-\(1\))/\(3\) - (x-\(1\))**\(2\)/\(9\)

plt.plot(x, f, label\(=\)'f(x)\(= x^{1/3}\)')
plt.plot(x, T\(2\), '--', label\(=\)'\(T_2\)(x)')
plt.axvline(\(1\), color\(=\)'gray', lw\(=0.5\))
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('f(x) e seu polinômio de Taylor de \(2\)ª ordem em x\(=1\)')
plt.grid(True)
plt.show()
Isso mostra que aproxima bem perto de e começa a divergir conforme nos afastamos.

Resposta

T2(x)=1+13(x-1)-19(x-1)^2

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