Esboce o gráfico da função
f(x)=rrr x^2, & se & x <= 1 a-x, & se & x>1
para a=1 e a=3. Para qual valor de a essa função é contínua?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^2, & x<=1, a - x, & x>1,
pede para esboçar o gráfico em dois casos ( a=1 e a=3) e, em seguida, determinar o valor de a que torna f contínua em x=1. Vamos lembrar que continuidade em x=1 exige que
limxto1^-f(x)=f(1)=limxto1^+f(x)

Passo 2

Para a=1, o gráfico é:
– Para x<=1, a curva y=x^2, que em x=1 atinge o ponto (1,1).
– Para x>1, a reta y=1 - x, que em x=1 daria y=0, mas como o ramo é aberto em x=1, temos um círculo aberto em (1,0).
Logo há um salto de (1,1) (fechado) para (1,0) (aberto).

Passo 3

Para a=3, o gráfico muda só na reta:
– Para x<=1, continua y=x^2 com ponto fechado em (1,1).
– Para x>1, a reta é y=3 - x, que em x=1 daria y=2, mas com círculo aberto em (1,2).
Novamente há salto, agora de (1,1) para (1,2).

Passo 4

Para exigir continuidade em x=1, igualamos as duas “pontas” no ponto de junção:
limxto1^-f(x)=limxto1^-x^2=1, limxto1^+f(x)=limxto1^+(a-x)=a-1
Como f(1)=1, precisamos de
a-1=1 implies a=2

Resposta

A função é contínua apenas para a=2.

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