Resolva o que se pede em cada item.
Verifique que:
. Conclua que, se
,
Ou seja,
Verifique que:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma soma de termos que forma uma progressão geométrica:
. A questão nos dá a fórmula dessa soma finita:
E nos pede para concluir que, se
, o limite dessa soma quando
tende ao infinito é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma progressão geométrica, como calcular sua soma finita e o que acontece quando somamos infinitos termos dessa sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma progressão geométrica. É uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante, chamada de razão
.
No nosso caso, a sequência é
, onde
é a razão.
Passo 3
Sabemos que a soma dos primeiros
termos de uma progressão geométrica pode ser calculada pela fórmula:
Essa fórmula nos dá a soma finita dos termos da sequência.
Passo 4
Agora, queremos encontrar o limite dessa soma quando
tende ao infinito, ou seja:
Vamos analisar o que acontece com
quando
cresce sem limite.
Passo 5
Se
, então, conforme
aumenta,
tende a zero. Isso porque um número com módulo menor que 1, elevado a uma potência cada vez maior, se aproxima de zero.
Portanto:
Passo 6
Substituindo esse limite na fórmula da soma finita, temos:
Isso mostra que, quando
, a soma infinita da progressão geométrica é igual a
.
Resposta
Portanto, se
, temos que: