Resolva o que se pede em cada item.
Verifique que: 1+t+t^2+cdots+t^n=1-t^n+11-t (t neq 1). Conclua que, se |t|<1,
lim n +infty(1+t+t^2+cdots+t^n)=11-t
Ou seja,
11-t=1+t+t^2+cdots+t^n+ldots

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma soma de termos que forma uma progressão geométrica: 1 + t + t^2 + cdots + t^n. A questão nos dá a fórmula dessa soma finita:
1 + t + t^2 + cdots + t^n = 1 - t^n+11 - t (t neq 1)
E nos pede para concluir que, se |t| < 1, o limite dessa soma quando n tende ao infinito é 11 - t. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma progressão geométrica, como calcular sua soma finita e o que acontece quando somamos infinitos termos dessa sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma progressão geométrica. É uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante, chamada de razão t.
No nosso caso, a sequência é 1, t, t^2, ldots, t^n, onde t é a razão.

Passo 3

Sabemos que a soma dos primeiros n+1 termos de uma progressão geométrica pode ser calculada pela fórmula:
Sn = 1 - t^n+11 - t (t neq 1)
Essa fórmula nos dá a soma finita dos termos da sequência.

Passo 4

Agora, queremos encontrar o limite dessa soma quando n tende ao infinito, ou seja:
limn to +infty Sn = limn to +infty 1 - t^n+11 - t
Vamos analisar o que acontece com t^n+1 quando n cresce sem limite.

Passo 5

Se |t| < 1, então, conforme n aumenta, t^n+1 tende a zero. Isso porque um número com módulo menor que 1, elevado a uma potência cada vez maior, se aproxima de zero.
Portanto:
limn to +infty t^n+1 = 0

Passo 6

Substituindo esse limite na fórmula da soma finita, temos:
limn to +infty Sn = 1 - 01 - t = 11 - t
Isso mostra que, quando |t| < 1, a soma infinita da progressão geométrica é igual a 11 - t.

Resposta

Portanto, se |t| < 1, temos que:
11 - t = 1 + t + t^2 + cdots + t^n + ldots

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