Resolva o que se pede em cada item.
Verifique que: 1-t+t^2-t^3+cdots+(-1)^n t^n é o polinômio de Taylor, de ordem n, de 11+t em volta de 0. Sugestão: Mostre que
lim t 0 11+t-(1-t+t^2-cdots+(-1)^n t^n)t^n=0

Passo 1

Beleza, temos que mostrar que o polinômio 1 - t + t^2 - t^3 + cdots + (-1)^n t^n é o polinômio de Taylor de ordem n da função 11+t em torno de 0. Para isso, vamos precisar entender o que é um polinômio de Taylor e como calcular o limite dado para verificar se a diferença entre a função e o polinômio, dividida por t^n, tende a zero quando t se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma aproximação de uma função suave em torno de um ponto, neste caso, t = 0. O polinômio de ordem n inclui os termos até t^n. Então, nosso objetivo é ver se o polinômio dado realmente aproxima a função 11+t até o termo t^n.

Passo 3

Sabemos que a função 11+t pode ser expandida em série de Taylor (ou série de Maclaurin, já que é em torno de 0) da forma:
11+t = 1 - t + t^2 - t^3 + cdots + (-1)^k t^k + cdots
Essa série é infinita, mas o polinômio de Taylor de ordem n é justamente a soma dos primeiros n+1 termos.

Passo 4

Então, o polinômio de Taylor de ordem n é:
Pn(t) = 1 - t + t^2 - t^3 + cdots + (-1)^n t^n
Queremos mostrar que Pn(t) aproxima 11+t até a ordem n, ou seja, que a diferença entre eles, quando dividida por t^n, tende a zero conforme t se aproxima de zero.

Passo 5

Vamos calcular a diferença entre a função e o polinômio:
11+t - Pn(t) = 11+t - (1 - t + t^2 - cdots + (-1)^n t^n)
Essa diferença é o termo de resto da série, que representa o erro da aproximação.

Passo 6

Para verificar se Pn(t) é realmente o polinômio de Taylor, calculamos o limite dado:
limt 0 11+t - Pn(t)t^n = 0
Se esse limite for zero, isso confirma que o erro da aproximação é menor que t^n, validando que Pn(t) é o polinômio de Taylor de ordem n.

Passo 7

Vamos simplificar a diferença:
11+t - Pn(t) = (-1)^n+1 t^n+1 cdot 11+t
Agora, dividimos por t^n:
11+t - Pn(t)t^n = (-1)^n+1 t cdot 11+t

Passo 8

Agora, calculamos o limite conforme t se aproxima de zero:
limt 0 (-1)^n+1 t cdot 11+t = (-1)^n+1 cdot 0 cdot 1 = 0
Pois t multiplicado por qualquer constante tende a zero quando t vai para zero.

Resposta

Assim, mostramos que
limt 0 11+t - (1 - t + t^2 - cdots + (-1)^n t^n)t^n = 0,
confirmando que 1 - t + t^2 - t^3 + cdots + (-1)^n t^n é realmente o polinômio de Taylor de ordem n da função 11+t em torno de 0.

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