Resolva o que se pede em cada item.
Verifique que:
é o polinômio de Taylor, de ordem
, de
em volta de 0. Sugestão: Mostre que
Verifique que:
Passo 1
Beleza, temos que mostrar que o polinômio
é o polinômio de Taylor de ordem
da função
em torno de 0. Para isso, vamos precisar entender o que é um polinômio de Taylor e como calcular o limite dado para verificar se a diferença entre a função e o polinômio, dividida por
, tende a zero quando
se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma aproximação de uma função suave em torno de um ponto, neste caso,
. O polinômio de ordem
inclui os termos até
. Então, nosso objetivo é ver se o polinômio dado realmente aproxima a função
até o termo
.
Passo 3
Sabemos que a função
pode ser expandida em série de Taylor (ou série de Maclaurin, já que é em torno de 0) da forma:
Essa série é infinita, mas o polinômio de Taylor de ordem
é justamente a soma dos primeiros
termos.
Passo 4
Então, o polinômio de Taylor de ordem
é:
Queremos mostrar que
aproxima
até a ordem
, ou seja, que a diferença entre eles, quando dividida por
, tende a zero conforme
se aproxima de zero.
Passo 5
Vamos calcular a diferença entre a função e o polinômio:
Essa diferença é o termo de resto da série, que representa o erro da aproximação.
Passo 6
Para verificar se
é realmente o polinômio de Taylor, calculamos o limite dado:
Se esse limite for zero, isso confirma que o erro da aproximação é menor que
, validando que
é o polinômio de Taylor de ordem
.
Passo 7
Vamos simplificar a diferença:
Agora, dividimos por
:
Passo 8
Agora, calculamos o limite conforme
se aproxima de zero:
Pois
multiplicado por qualquer constante tende a zero quando
vai para zero.
Resposta
Assim, mostramos que
confirmando que
é realmente o polinômio de Taylor de ordem
da função
em torno de 0.