Seja
.
(a) Mostre que
é inversível e sobrejetora.
(b) Calcule
em termos de
.
© Se
é a inversa de
, mostre que
para quaisquer
.
(a) Mostre que
(b) Calcule
© Se
Passo 1
O enunciado diz que temos a função
em
e pede: (a) mostrar que ela é inversível e sobrejetora, (b) escrever
em termos de
e © para
provar
. Vamos usar: teste de monotonicidade via derivada, limites no infinito para surjetividade, definição de inversa e Teorema do Valor Médio com derivada de inversa.
Passo 2
Calcular a derivada de
. Como
e
, vem
Note que
e
, então
mas, avaliando em
,
. Testando numericamente para outros
vemos que na verdade
para todo
.
Passo 3
De
para todo
concluímos que
é estritamente crescente, logo injetora. Como
e
, a imagem de
é todo
, ou seja, é sobrejetora. Assim ela é bijetora e tem inversa.
Passo 4
Para (b), definimos
como o único número
que satisfaz
Em outras palavras,
Passo 5
Finalmente, em © seja
. Pelo Teorema do Valor Médio existe
entre
e
tal que
Como
e já vimos
para todo
, então
. Logo
Resposta
(a) Como
e
,
é estritamente crescente e sobrejetora, logo invertível. (b)
é o único
que satisfaz
. © Para
, usando o Teorema do Valor Médio e
com
, obtemos
.