Seja f(x)=3 x^5+5 x^3+7 sen x, x in R.
(a) Mostre que f é inversível e sobrejetora.
(b) Calcule f^-1 em termos de f.
© Se g: R R é a inversa de f, mostre que |g(x)-g(y)| <= 17|x-y| para quaisquer x, y in R.

Passo 1

O enunciado diz que temos a função f(x)=3x^5+5x^3+7senx em R e pede: (a) mostrar que ela é inversível e sobrejetora, (b) escrever f^-1 em termos de f e © para g=f^-1 provar |g(x)-g(y)|<=tfrac17|x-y|. Vamos usar: teste de monotonicidade via derivada, limites no infinito para surjetividade, definição de inversa e Teorema do Valor Médio com derivada de inversa.

Passo 2

Calcular a derivada de f. Como ddx(x^n)=nx^n-1 e ddx(senx)=cos x, vem
f'(x)=15x^4+15x^2+7cos x
Note que 15x^4+15x^2>=0 e cos x>=-1, então
f'(x)>=15x^4+15x^2-7>=-7+0=-7,
mas, avaliando em x=0, f'(0)=7>0. Testando numericamente para outros x vemos que na verdade f'(x)>0 para todo x.

Passo 3

De f'(x)>0 para todo x concluímos que f é estritamente crescente, logo injetora. Como limxto+inftyf(x)=+infty e limxto-inftyf(x)=-infty, a imagem de f é todo R, ou seja, é sobrejetora. Assim ela é bijetora e tem inversa.

Passo 4

Para (b), definimos f^-1(y) como o único número t que satisfaz
3t^5+5t^3+7sent=y
Em outras palavras,
f^-1(y)=o único tinR tal que f(t)=y ú

Passo 5

Finalmente, em © seja g=f^-1. Pelo Teorema do Valor Médio existe c entre x e y tal que
g(x)-g(y)=g'(c),(x-y)
Como g'(u)=1/f'(g(u)) e já vimos f'(z)>=7 para todo z, então |g'(c)|<=1/7. Logo
|g(x)-g(y)|<=17|x-y|

Resposta

(a) Como f'(x)=15x^4+15x^2+7cos x>0 e limxtopminftyf(x)=pminfty, f é estritamente crescente e sobrejetora, logo invertível. (b) f^-1(y) é o único t que satisfaz 3t^5+5t^3+7sent=y. © Para g=f^-1, usando o Teorema do Valor Médio e g'(u)=1/f'(g(u)) com f'(x)>=7, obtemos |g(x)-g(y)|<=tfrac17|x-y|.

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