Determine os polinômios de Taylor até quarta ordem, em torno de x=0, das seguintes funções
(a) e^x

Passo 1

O enunciado pede para determinar o polinômio de Taylor (Maclaurin) de ordem 4 para a função f(x)=e^x em torno de x=0. Vamos usar a definição de série de Taylor e calcular as derivadas até a quarta ordem.

Passo 2

Para aplicar a fórmula, calculamos as derivadas de f: f(x)=e^x, f'(x)=e^x, f''(x)=e^x, f^(3)(x)=e^x e f^(4)(x)=e^x. Em particular, em x=0 todas valem f^(k)(0)=1 para k=0,1,2,3,4.

Passo 3

A fórmula do polinômio de Taylor de ordem 4 em torno de 0 é

Passo 4

P4(x)=sumk=0^4 f^(k)(0)k!,x^k = sumk=0^4 1k!,x^k

Resposta

P4(x) = 1 + x + x^22 + x^36 + x^424

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