Utilizando os polinômios de Taylor das funções envolvidas, calcule os seguintes limites:

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0sin x - l(x - tfracx^33!r)x^5 usando polinômios de Taylor. Vamos usar série de Taylor de sin x em torno de zero até a ordem adequada.

Passo 2

Para isso, lembramos do polinômio de Taylor de sin x em torno de 0 até a 5ª ordem:
sin x = x - x^33! + x^55! + o(x^5)

Passo 3

Agora substituímos na expressão do numerador e simplificamos:
sin x - l(x - x^33!r) = l(x - x^33! + x^55! + o(x^5)r) - l(x - x^33!r) = x^55! + o(x^5)

Passo 4

Dividimos por x^5 e analisamos o limite:
sin x - l(x - x^33!r)x^5 = 15! + o(x^5)x^5 xrightarrow[xto0] 15! = 1120

Resposta

tfrac1120

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