Utilizando os polinômios de Taylor das funções envolvidas, calcule os seguintes limites:

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0e^x-(1+x+tfracx^22)x^3 usando polinômios de Taylor. O conteúdo principal é a série de Taylor de e^x em torno de zero e vamos precisar dela até termos de ordem x^3.

Passo 2

A série de Taylor de e^x em torno de zero é
e^x = 1 + x + x^22 + x^36 + x^424 + cdots

Passo 3

Substituindo essa expansão no numerador temos:
e^x -l(1 + x + tfracx^22r) = l(1 + x + tfracx^22 + tfracx^36 + cdotsr) - l(1 + x + tfracx^22r) = x^36 + O(x^4)

Passo 4

Agora dividimos por x^3:
e^x-(1+x+tfracx^22)x^3 = tfracx^36 + O(x^4)x^3 = 16 + O(x)

Passo 5

Tomando xto0, os termos O(x) vão a zero, ficando apenas 1/6.

Resposta

16

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