Determine os polinômios de Taylor até quarta ordem, em torno de x=0, das seguintes funções
(b) e^i x

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem até 4 de e^ix centrado em x=0. O conteúdo é série de Taylor (ou Maclaurin) e vamos precisar da fórmula geral
f(x)=sumn=0^4 f^(n)(0)n!,x^n

Passo 2

Para f(x)=e^ix, temos f^(n)(x)=i^n e^ix. Em x=0 isso vira f^(n)(0)=i^n. Logo o polinômio de Taylor é
P4(x)=sumn=0^4 i^nn!,x^n

Passo 3

Agora calculamos cada termo individualmente:
  • n=0: i^00!x^0=1
  • n=1: i^11!x^1=i,x
  • n=2: i^22!x^2=-12,x^2=-x^22
  • n=3: i^33!x^3=-i6,x^3=-i,x^36
  • n=4: i^44!x^4=124,x^4=x^424

Passo 4

Juntando tudo, o polinômio de Taylor de ordem 4 fica
P4(x)=1+i,x-x^22-i,x^36+x^424

Resposta

P4(x)=1+i,x-tfracx^22-tfraci,x^36+tfracx^424

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