Seja
.
(a) Mostre que a equação
admite uma única solução para qualquer
. Conclua que
admite inversa.
(b) Seja
a inversa de
. Mostre que
, para quaisquer
.
(a) Mostre que a equação
(b) Seja
Passo 1
O exercício define a função
por
e pede em (a) mostrar que a equação
tem solução única qualquer
, concluindo que
é invertível; em (b) provar que a inversa
satisfaz
.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de
. Aplicando regras de derivação,
Passo 3
Note que para todo
vale
e
, logo
Passo 4
Como
em
,
é estritamente crescente e, portanto, injetora. Além disso,
Passo 5
Como
é contínua, sua imagem é todo
, ou seja,
é sobrejetora. Concluímos que
é bijetora e, portanto, admite inversa
.
Passo 6
Para (b), usemos o Teorema do Valor Médio na função
. Para quaisquer
, existe
entre
e
tal que
Passo 7
Como
, temos
. E como mostramos que
para todo
, segue
. Assim
Resposta
f é bijetora (invertível) e sua inversa g satisfaz |g(x)-g(y)|≤2|x-y|.