Seja f(x)=e^x-1x-x2, x>0.
(a) Mostre que a equação
e^x-1x-x2=y
admite uma única solução para qualquer y in R. Conclua que f admite inversa.
(b) Seja g a inversa de f. Mostre que |g(x)-g(y)| <= 2|x-y|, para quaisquer x, y in R.

Passo 1

O exercício define a função f:(0,infty)to R por f(x)=e^x-tfrac1x-tfrac x2 e pede em (a) mostrar que a equação f(x)=y tem solução única qualquer yin R, concluindo que f é invertível; em (b) provar que a inversa g satisfaz |g(x)-g(y)|<=2|x-y|.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f. Aplicando regras de derivação,
f'(x)=ddxl(e^x-1x- x2r)=e^x+1x^2-12

Passo 3

Note que para todo x>0 vale e^x>=1+x e 1/x^2>0, logo
f'(x)>=(1+x)-tfrac12=x+tfrac12>0

Passo 4

Como f'(x)>0 em (0,infty), f é estritamente crescente e, portanto, injetora. Além disso,
  • limxto0^+f(x)=limxto0^+l(e^x-1/x-x/2r)=-infty
  • limxto+inftyf(x)=+infty

Passo 5

Como f é contínua, sua imagem é todo R, ou seja, f é sobrejetora. Concluímos que f é bijetora e, portanto, admite inversa g: Rto(0,infty).

Passo 6

Para (b), usemos o Teorema do Valor Médio na função g. Para quaisquer x,yin R, existe xi entre x e y tal que
g(x)-g(y)=g'(xi),(x-y)

Passo 7

Como g'=1/(f'circ g), temos g'(t)=1/f'(g(t)). E como mostramos que f'(u)>=tfrac12 para todo u>0, segue g'(t)<=2. Assim
|g(x)-g(y)|=|g'(xi)|,|x-y|<=2|x-y|

Resposta

f é bijetora (invertível) e sua inversa g satisfaz |g(x)-g(y)|≤2|x-y|.

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