Seja
.
(a) Mostre que a equação
admite uma única solução para qualquer
. Conclua que
admite inversa.
(b) Seja
a inversa de
. Mostre que
, para quaisquer
.
(a) Mostre que a equação
(b) Seja
Passo 1
O enunciado diz que temos a função
dada por
. Precisamos mostrar que, para todo
, a equação
tem única solução, isto é,
é bijetora e admite inversa
. Em seguida, devemos provar que essa inversa satisfaz
para quaisquer
.
Passo 2
Calculamos a derivada
Como
e
, segue
Logo
é estritamente crescente e contínua nesse intervalo.
Passo 3
Analisamos os extremos do domínio: quando
temos
e
é finito, Logo
Pela monotonicidade estrita e pelos limites em
,
é sobrejetora em
e injetora. Concluímos que
é bijetora e, portanto, admite inversa
.
Passo 4
Para obter a desigualdade desejada, usamos derivada de inversa e o Teorema do Valor Médio. Sabemos que
Como demonstramos que
, temos
para todo
. Pelo Teorema do Valor Médio, para quaisquer
existe
entre
e
tal que
Tomando valor absoluto e usando
, obtemos
Resposta
A função
é estritamente crescente e contínua em
, com
, logo é bijetora e admite inversa
. Como
, temos
, e pelo Teorema do Valor Médio segue
.