Seja f(x)=tg x+x^3,-pi / 2.
(a) Mostre que a equação tg x+x^3=y admite uma única solução para qualquer y in R. Conclua que f admite inversa.
(b) Seja g a inversa de f. Mostre que |g(x)-g(y)| <=|x-y|, para quaisquer x, y in R.

Passo 1

O enunciado diz que temos a função f:(-pi/2,pi/2)to R dada por f(x)=tan x + x^3. Precisamos mostrar que, para todo yin R, a equação tan x + x^3 = y tem única solução, isto é, f é bijetora e admite inversa g. Em seguida, devemos provar que essa inversa satisfaz |g(x)-g(y)|<=|x-y| para quaisquer x,yin R.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=ddx(tan x)+ddx(x^3)=sec^2 x+3x^2
Como sec^2 x>=1 e 3x^2>=0, segue
f'(x)=sec^2x+3x^2>0forall xin(-tfracpi2,tfracpi2)
Logo f é estritamente crescente e contínua nesse intervalo.

Passo 3

Analisamos os extremos do domínio: quando xtopmtfracpi2 temos tan xtopminfty e x^3 é finito, Logo
limxtopmpi2f(x)=pminfty
Pela monotonicidade estrita e pelos limites em pminfty, f é sobrejetora em R e injetora. Concluímos que f é bijetora e, portanto, admite inversa g: Rto(-tfracpi2,tfracpi2).

Passo 4

Para obter a desigualdade desejada, usamos derivada de inversa e o Teorema do Valor Médio. Sabemos que
g'(y)=1f'(g(y))
Como demonstramos que f'(x)>=sec^2x>=1, temos 0 para todo y. Pelo Teorema do Valor Médio, para quaisquer x,y existe xi entre x e y tal que
g(x)-g(y)=g'(xi),(x-y)
Tomando valor absoluto e usando g'(xi)<=1, obtemos
|g(x)-g(y)|<=|x-y|

Resposta

A função f é estritamente crescente e contínua em (-pi/2,pi/2), com limxtopmpi/2f(x)=pminfty, logo é bijetora e admite inversa g. Como f'(x)>=1, temos g'(y)=1/f'(g(y))<=1, e pelo Teorema do Valor Médio segue |g(x)-g(y)|<=|x-y|.

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