Resolva as integrais:
integral d xraizx^2-16

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral dxraizx^2-16
Esse é um caso padrão de integral da forma
integral dxraizx^2-a^2
com a=4. Para resolver, a gente vai usar uma substituição trigonométrica que transforma a raiz em algo que cancele.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 4sectheta,
de modo que
dx = 4sectheta,tantheta,dtheta e raizx^2-16 = raiz16sec^2theta-16 =4tantheta
Substituindo na integral, vem
integral dxraizx^2-16 = integral 4sectheta,tantheta,dtheta4tantheta = integral sectheta,dtheta

Passo 3

Lembrando a primitiva conhecida
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta+tanthetar| + C,
temos então
integral dxraizx^2-16 = lnl|sectheta+tanthetar| + C

Passo 4

Só falta voltar para x. Como x=4sectheta, temos sectheta = x/4 e
tantheta = raizsec^2theta-1 = raizx^2/16 -1 = raizx^2-16/4. Logo,
lnl|sectheta+tanthetar| = ln!l|x4 + raizx^2-164r| = lnl|x+raizx^2-164r| = lnl|x+raizx^2-16r| - ln 4
Como -ln4 é constante, a gente absorve em C.

Resposta

integral dxraizx^2-16 = lnl|x + raizx^2-16r| + C

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