Nos itens abaixo, use o teorema de Green para calcular a integral ao longo da curva C com orientação no sentido anti-horário. F=y i-x j e C círculo unitário de centro na origem.
Passo 1
O enunciado pede ∮_C F·dr com F = y i – x j ao redor do círculo unitário (x²+y²=1) orientado anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha numa integral dupla sobre o disco D.
Passo 2
Segundo o Teorema de Green, para P(x,y) dx + Q(x,y) dy em C orientado positivamente, temos:
∮C P,dx + Q,dy = ∬D l(∂Q∂x - ∂P∂yr),dA
Passo 3
Aqui P(x,y)=y e Q(x,y)=−x. Logo calculamos as derivadas parciais:
∂Q∂x = -1, ∂P∂y = 1
Passo 4
O integrando fica então (∂Q/∂x - ∂P/∂y) = -1 - 1 = -2. Assim:
∮C F·dr = ∬D (-2),dA = -2 cdot Área(D) Á
Passo 5
O disco D é o círculo unitário, com área π. Portanto a integral vale -2·π.