Verifique se o campo F é conservativo e se for, encontre a função potencial f tal que nabla f=F.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo de vetores vec F(x,y,z)=l(y z e^xyz+z^2cos(xz^2)r),i+l(xz e^xyzr),j+l(xy e^xyz+2xzcos(xz^2)r),k é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f(x,y,z) tal que nabla f=vec F. Em R^3, um campo é conservativo se o rotacional (curl) for zero, ou seja, se todas as derivadas mistas satisfizerem partialiFj=partialjFi.

Passo 2

Vamos verificar as derivadas mistas principais mostrando um caso e mencionando que os outros são análogos. Primeiro
Fx=y z e^xyz+z^2cos(xz^2),
partial Fxpartial y=z e^xyz+x y z^2e^xyz,
Fy=xz e^xyz,
partial Fypartial x=z e^xyz+x y z^2e^xyz
Os demais pares ( partial Fx/partial z=partial Fz/partial x e partial Fy/partial z=partial Fz/partial y) conferem de forma análoga. Logo nablatimesvec F=0 em R^3, e o campo é conservativo.

Passo 3

Para encontrar a potencial, integramos partial f/partial x=Fx em relação a x:
f(x,y,z)=integrall(yz e^xyz+z^2cos(xz^2)r),dx=e^xyz+sin(xz^2)+C(y,z)

Passo 4

Para determinar C(y,z), usamos
partial fpartial y=xz e^xyz+partial Cpartial ystackrel!=Fy=xz e^xyzimplies Cy=0implies C=C(z),
e
partial fpartial z=xy e^xyz+2xzcos(xz^2)+C'(z)stackrel!=Fz=xy e^xyz+2xzcos(xz^2)implies C'(z)=0implies C=constante

Resposta

f(x,y,z)=e^xyz+sin(xz^2)+C

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