Determine os pólos, as ordens e os resíduos correspondentes de cada uma das funções dadas:
z-sen zz^4.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os polos, suas ordens e os resíduos da função
f(z)=z-sin zz^4
Como só há singularidade possível em z=0 (o numerador é inteiro em toda parte e o denominador zinca somente em z=0), vamos usar a expansão em série de Taylor de sin z para obter a expansão de Laurent de f em torno de z=0.

Passo 2

Recordando a série de Taylor de sin z em torno de 0:
sin z = z - z^36 + z^5120 - cdots

Passo 3

Subtraindo dessa série de sin z o termo z, temos
z - sin z = z - l(z - z^36 + z^5120 - cdotsr) = z^36 - z^5120 + cdots

Passo 4

Dividindo por z^4 obtemos a expansão em Laurent de f(z):
f(z)=z-sin zz^4 =16,1z-1120,z+cdots

Passo 5

Na expansão aparece apenas o termo tfrac16,z^-1 como parte singular. Logo em z=0 há um pólo simples (ordem 1).

Passo 6

O coeficiente de 1/z nessa expansão é exatamente o resíduo em z=0, ou seja,
Res(f,0)=16

Resposta

Pólo em z=0 de ordem 1, com Res(f,0)=tfrac16.

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