Determine o resíduo de
f(z)=e^pi i z(z-pi)^4
no seu pólo z=pi. Obtenha o mesmo resultado desenvolvendo e^i pi z=e^i pi^2 e^i pi(z-pi) em série de potências de z-pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o resíduo da função f(z)=e^pi i z(z-pi)^4 no polo de ordem 4 em z=pi. Isso envolve usar desenvolvimento em série de Laurent, que aqui vamos obter a partir da série de potências de e^ipi z em torno de z=pi.

Passo 2

Para expandir e^ipi z em torno de z=pi, fatoramos a parte constante:
e^ipi z=e^ipi^2,e^ipi(z-pi)

Passo 3

Em seguida, usamos a expansão em série de potências de e^ipi (z-pi):
e^ipi (z-pi)= sumn=0^infty(ipi)^nn!(z-pi)^n

Passo 4

Substituindo em f(z) e dividindo por (z-pi)^4, obtemos a série de Laurent:
f(z)=e^ipi^2sumn=0^infty(ipi)^nn!(z-pi)^n-4

Passo 5

O resíduo é o coeficiente de (z-pi)^-1, ou seja, quando n-4=-1 (isto é, n=3). Logo,
Resz=pif(z)=e^ipi^2(ipi)^33!

Resposta

-tfracipi^3e^ipi^26

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