Determine os pólos, as ordens e os resíduos correspondentes de cada uma das funções dadas:
coth z.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os polos, as ordens e os resíduos da função coth z. O conteúdo é análise complexa, singularidades de funções meromorfas. Vamos precisar identificar os zeros de sinh z, verificar a ordem de cada polo e usar a fórmula de resíduos para polo simples.

Passo 2

Os polos de coth z=dfraccosh zsinh z ocorrem quando sinh z=0. Sabemos que
sinh z=0Long<=ftrightarrow z=kpi i, kinZ
Logo, os polos são zk=kpi i.

Passo 3

Cada zero de sinh z em zk é simples, pois
sinh'(zk)=cosh(zk)neq0
Portanto, cada polo de coth z em zk é de ordem 1.

Passo 4

Para um polo simples de em , o resíduo é
Aqui e . Em ,

Resposta

Os polos de coth z são z=kpi i ( kinZ), todos simples (ordem 1), e cada resíduo vale 1.

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