Determine os pólos, as ordens e os resíduos correspondentes de cada uma das funções dadas:
z-sen zz^6.

Passo 1

O enunciado pede os pólos, as ordens e os resíduos de
f(z)=z-senzz^6
Vamos usar a teoria de séries de Taylor para senz e obter a expansão de Laurent de f em torno de z=0, identificando aí a singularidade.

Passo 2

Expandimos senz em série de Taylor ao redor de z=0 até ordem z^7:
senz = z - z^33! + z^55! - z^77! + cdots = z - z^36 + z^5120 - z^75040 + cdots

Passo 3

Calculamos z-senz:
z - senz = z - l(z - z^36 + z^5120 - z^75040 + cdotsr) = z^36 - z^5120 + z^75040 - cdots

Passo 4

Dividimos por z^6 para obter a série de Laurent de f:
z-senzz^6 = 16,z^-3 - 1120,z^-1 + 15040,z + cdots

Passo 5

Na expansão de Laurent vemos apenas potências negativas até , logo em há um pólo de ordem 3.
O resíduo é o coeficiente de nessa expansão, ou seja,

Resposta

Pólo em z=0 de ordem 3, com resíduo -tfrac1120.

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