Determine os pólos, as ordens e os resíduos correspondentes de cada uma das funções dadas:
e^z4 z^2+pi^2.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre os pólos, as ordens e os resíduos da função
f(z) = e^z4,z^2+pi^2,
O conteúdo é análise complexa: identificar singularidades isoladas (pólos), classificar sua ordem e calcular resíduos em cada um.

Passo 2

Para achar os pólos, resolvemos o denominador igual a zero:
4 z^2 + pi^2 = 0
Logo
z^2 = -pi^24 Longrightarrow z = pm i pi2
Portanto os pólos estão em z1 = i tfracpi2 e z2 = -i tfracpi2.

Passo 3

Cada pólo é simples (ordem 1) porque a derivada do denominador em zk não se anula. Se chamarmos
g(z) = 4,z^2+pi^2,
então
g'(z) = 8,z,
e em zk temos g'(zk) = 8,zkneq 0.

Passo 4

Para pólo simples em , o resíduo é dado por

Passo 5

Aplicando para cada pólo:
Em :
então
Em :
então

Resposta

Pólos:
z1 = i,tfracpi2, ordem 1, residuo tfrac14pi.
z2 = -i,tfracpi2, ordem 1, residuo tfrac14pi.

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