Determine os pólos, as ordens e os resíduos correspondentes de cada uma das funções dadas:
1z sen z.

Passo 1

O enunciado pede para achar os polos, suas ordens e os resíduos da função \r
f(z)=1zsin z \r
Isso envolve teoria de séries de Laurent e cálculo de resíduos em funções meromorfas.

Passo 2

Determinar onde o denominador se anula: \r
O fator z anula em z=0. \r
O fator sin z anula em z=npi, com nin Z. \r
Logo os polos de f são \r
;z=0e z=npi,;nneq0

Passo 3

Classificar a ordem de cada polo:\r
  1. Em z=0: usa-se a expansão sin z=z-tfracz^36+cdots, então \r zsin z=z^2l(1-tfracz^26+cdotsr) \rtem zero de ordem 2 em z=0. Assim f tem polo de segunda ordem em z=0. \r
  2. Em z=npi, nneq0: como sin z tem zero simples em npi e o fator z lá vale npineq0, temos polo simples em cada npi.

Passo 4

Calcular o resíduo em cada polo simples , : \r
Para polo simples, \r
\r
Como , obtemos \r

Passo 5

Calcular o resíduo no polo de ordem 2 em : \r
Usando série de Laurent em torno de zero,\r
\r
Não há termo em , logo \r

Resposta

Os polos de são:\r
(polo de ordem 2) com ,\r
e , (polo simples) com \r

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