Determine os pólos, as ordens e os resíduos correspondentes de cada uma das funções dadas:
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os polos, suas ordens e os resíduos da função \r
Isso envolve teoria de séries de Laurent e cálculo de resíduos em funções meromorfas.
Passo 2
Determinar onde o denominador se anula: \r
O fator anula em
. \r
O fator anula em
, com
. \r
Logo os polos de são \r
O fator
O fator
Logo os polos de
Passo 3
Classificar a ordem de cada polo:\r
- Em
: usa-se a expansão , então \r \rtem zero de ordem 2 em . Assim tem polo de segunda ordem em . \r - Em
, : como tem zero simples em e o fator lá vale , temos polo simples em cada .
Passo 4
Calcular o resíduo em cada polo simples
,
: \r
Para polo simples, \r
Para polo simples, \r
\r
Como
, obtemos \r
Passo 5
Calcular o resíduo no polo de ordem 2 em
: \r
Usando série de Laurent em torno de zero,\r
Usando série de Laurent em torno de zero,\r
\r
Não há termo em
, logo \r
Resposta
Os polos de
são:\r
(polo de ordem 2) com ,\r
e ,
(polo simples) com \r
e