Determine os pólos, com suas respectivas ordens, no caso de cada uma das funções dadas:
sen zz^3(z-pi).

Passo 1

O enunciado pede para achar os polos e suas ordens da função
f(z)=sin zz^3,(z-pi)
O conteúdo envolvido é identificação de singularidades isoladas no plano complexo e uso de séries de Taylor para verificar cancelamentos entre zeros do numerador e polos do denominador.

Passo 2

Identificamos potenciais polos onde o denominador z^3(z-pi) se anula, ou seja em z=0 (ordem 3 pelo fator z^3) e em z=pi (ordem 1 pelo fator z-pi). Também observamos que o numerador sin z possui zeros em z=kpi, kinZ, ou seja, tem zero simples em z=0 e em z=pi.

Passo 3

Análise em z=0: expandindo sin z em série de Taylor,
sin z = z - z^36 + O(z^5),
vemos que há um zero de ordem 1 que cancela parte do polo de ordem 3 em z=0, sobrando um polo de ordem
3 - 1 = 2

Passo 4

Análise em z=pi: definindo w = z - pi, temos
sin z = sin(pi + w) = -sin w = -w + O(w^3),
e o denominador contém um fator (z-pi)=w de ordem 1, que é totalmente cancelado pelo zero simples do numerador. Logo não sobra polo em z=pi, apenas uma singularidade removível.

Resposta

O único polo de f(z) é em z=0, com ordem 2. Não há polo em z=pi (é singularidade removível).

Exercícios relacionados