Determine os pólos, com suas respectivas ordens, no caso de cada uma das funções dadas:
1z sen^2 pi z.

Passo 1

O enunciado pede os polos e suas ordens da função
f(z)=1z,sin^2(pi z)
O conteúdo aqui é identificação de singularidades isoladas em funções meromorfas, usando zeros do denominador.

Passo 2

As singularidades ocorrem quando o denominador se anula, ou seja, em z=0 (da fator z) e em z=k, onde k é inteiro, pois sin(pi k)=0. Cada zero de sin(pi z) em z=k é simples, mas como aparece ao quadrado, sin^2(pi z) tem zero de ordem 2 em cada k.

Passo 3

Em z=kneq0 o único fator nulo é sin^2(pi z) com ordem 2, logo f tem polo de ordem 2 em cada z=k, kinZsetminus0.

Passo 4

Em z=0 o denominador tem o fator z (ordem 1) e também sin^2(pi z). Perto de zero, sin(pi z)approx pi z, então
sin^2(pi z)approx pi^2 z^2,
e o denominador comporta-se como pi^2 z^3. Assim f tem polo de ordem 3 em z=0.

Resposta

Os polos de f são
z=0, polo de ordem 3; z=k (kinZsetminus0), polos de ordem 2

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