Determine os pólos, com suas respectivas ordens, no caso de cada uma das funções dadas:
1-e^zz^4 sen(1+z).

Passo 1

O enunciado pede os pólos (e suas ordens) da função
f(z)=1-e^zz^4,sen(1+z)
Para isso vamos identificar onde o denominador se anula, ver se há cancelamentos com o numerador e, em cada ponto singular, determinar a ordem do pólo.

Passo 2

Análise em z=0:
O fator z^4 anula o denominador em z=0. Vamos ver se o numerador também zera e até que ordem:
1 - e^z = -z - z^22 - z^36 - cdots,
isto é, tem um zero simples em z=0. Por outro lado
sen(1+z)|z=0=sen(1)neq0
Logo, perto de z=0
f(z)sim-,zz^4,sen(1)=-1sen(1);z^-3
Isto mostra que em z=0 há um pólo de ordem 3.

Passo 3

Análise em 1+z=kpi ( kinZ):
A função sen(1+z) anula-se sempre que
1+z=kpiLongrightarrow zk=kpi-1
Cada zero de sen(1+z) é simples, pois ddzsen(1+z)=cos(1+z) não se anula simultaneamente. O numerador em zk vale
1-e^zk=1-e^,kpi-1neq0
para todo kinZ. Logo não há cancelamento; cada zk é pólo simples.

Resposta

Os pólos de f são:
z=0, pólo de ordem 3.
z=kpi-1 para todo kinZ, cada um pólo simples.

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