Mostre que z=0 é singularidade removível de cada uma das funções dadas abaixo e determine o valor que se deve atribuir à função em z=0 para que ela fique regular nesse ponto.
1z-1sen z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
f(z)=1z-1sin z
tem singularidade removível em z=0 e encontrar o valor que devemos atribuir a f(0) para que ela fique analítica nesse ponto. Vamos usar a expansão em série de Taylor de sin z em torno de 0.

Passo 2

Começamos pela expansão de sin z em torno de 0:
sin z = z - z^36 + O(z^5)

Passo 3

Invertendo essa série para obter 1/sin z, escrevemos
1sin z = 1zl(1 - z^26 + O(z^4)r) = 1z,11 - z^26 + O(z^4)
Usando a série geométrica 11-w=1+w+O(w^2) com w=tfracz^26+O(z^4), vem
1sin z = 1zl(1 + z^26 + O(z^4)r) = 1z + z6 + O(z^3)

Passo 4

Agora substituímos em f(z):
f(z) = 1z - 1sin z = 1z - l(1z + z6 + O(z^3)r) = -z6 + O(z^3)
Como nessa expansão não aparecem termos em 1/z ou outras potências negativas, f é analítica em z=0 após remover a singularidade.

Passo 5

Para que f fique regular em z=0, basta definir
f(0)=limzto0f(z) =limzto0l(-tfracz6+O(z^3)r) =0

Resposta

A singularidade em z=0 é removível e o valor que devemos atribuir é
f(0)=0

Exercícios relacionados