Mostre que
é singularidade removível de cada uma das funções dadas abaixo e determine o valor que se deve atribuir à função em
para que ela fique regular nesse ponto.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
tem singularidade removível em
e encontrar o valor que devemos atribuir a
para que ela fique analítica nesse ponto. Vamos usar a expansão em série de Taylor de
em torno de
.
Passo 2
Começamos pela expansão de
em torno de
:
Passo 3
Invertendo essa série para obter
, escrevemos
Usando a série geométrica
com
, vem
Passo 4
Agora substituímos em
:
Como nessa expansão não aparecem termos em
ou outras potências negativas,
é analítica em
após remover a singularidade.
Passo 5
Para que
fique regular em
, basta definir
Resposta
A singularidade em
é removível e o valor que devemos atribuir é