Determine os pólos, com suas respectivas ordens, no caso de cada uma das funções dadas:
e^zz(1-e^-z).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=e^zzl(1-e^-zr)
e pede para determinar seus polos e as ordens correspondentes. Aqui usamos o fato de que polos são pontos onde o denominador se anula (e o numerador não anula de forma a cancelar essa singularidade), e a ordem do polo coincide com a multiplicidade do zero do denominador menos a multiplicidade do zero do numerador naquele ponto.

Passo 2

Encontramos as raízes do denominador
zl(1-e^-zr)=0
isto é, ou
;z=0,
ou
;1-e^-z=0implies e^-z=1implies -z=2pi i kimplies z=2pi i k, com kinZ.

Passo 3

Analisando cada zk=2pi i k com kneq0, vemos que zkneq0 e portanto o fator z no denominador é não nulo em zk. Logo a única causa de singularidade é 1-e^-z ter zero em zk. Para estudar a ordem desse zero, escrevemos z=zk+h com hto0:
1-e^-z =1-e^-zke^-h =1-l(1r)l(1-h+tfrach^22-dotsr) =h+O(h^2)
Ou seja, 1-e^-z tem zero simples em zk. Como o numerador e^z avaliado em zk é e^2pi i k=1neq0, concluímos que cada zk com kneq0 é polo de ordem 1.

Passo 4

Em z=0, tanto o fator z quanto 1-e^-z se anulam. Para ver a ordem combinada, expandimos em série de Taylor:
e^z=1+z+tfracz^22+dots, 1-e^-z=1-l(1 - z + tfracz^22 - dotsr) =z-tfracz^22+dots
Logo o denominador fica
zl(1-e^-zr) =zl(z - tfracz^22+dotsr) =z^2l(1 - tfracz2+dotsr)
e tem zero de ordem 2 em z=0. Como e^z em z=0 vale 1neq0, esse ponto é polo de ordem 2.

Resposta

Os polos de
e^zzl(1-e^-zr)
são
z=2pi i k, kinZ,
sendo polo de ordem 2 em z=0 (caso k=0) e polo simples (ordem 1) em cada z=2pi i k com kneq0.

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