Determine os pólos, com suas respectivas ordens, no caso de cada uma das funções dadas:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar seus polos e as ordens correspondentes. Aqui usamos o fato de que polos são pontos onde o denominador se anula (e o numerador não anula de forma a cancelar essa singularidade), e a ordem do polo coincide com a multiplicidade do zero do denominador menos a multiplicidade do zero do numerador naquele ponto.
Passo 2
Encontramos as raízes do denominador
isto é, ou
,
ou
, com
.
ou
Passo 3
Analisando cada
com
, vemos que
e portanto o fator
no denominador é não nulo em
. Logo a única causa de singularidade é
ter zero em
. Para estudar a ordem desse zero, escrevemos
com
:
Ou seja,
tem zero simples em
. Como o numerador
avaliado em
é
, concluímos que cada
com
é polo de ordem 1.
Passo 4
Em
, tanto o fator
quanto
se anulam. Para ver a ordem combinada, expandimos em série de Taylor:
Logo o denominador fica
e tem zero de ordem 2 em
. Como
em
vale
, esse ponto é polo de ordem 2.
Resposta
Os polos de
são
são
sendo polo de ordem 2 em
(caso
) e polo simples (ordem 1) em cada
com
.