Determine os pólos, com suas respectivas ordens, no caso de cada uma das funções dadas:
1(e^i z-1)^2.

Passo 1

O enunciado pede os polos (pontos em que a função explode) de
f(z)=1l(e^i z-1r)^2
e suas ordens. Em análise complexa, polos de f ocorrem onde o denominador é zero, e a ordem do polo é a ordem do zero do denominador.

Passo 2

Encontramos os pontos z tais que
e^i z-1=0
Isso equivale a
e^i z=1Longrightarrow i z=2pi i k, kinZ Longrightarrow z=2pi k, kinZ

Passo 3

Para ver a ordem do zero de g(z)=e^i z-1 em z0=2pi k, calculamos
g'(z)=i,e^i z,
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g'(2pi k)=i,e^icdot2pi k=ineq0
Isso mostra que g tem um zero simples em cada z=2pi k. Como o denominador de f é l(g(z)r)^2, cada zero simples de g vira zero de ordem 2 no denominador, gerando um polo de ordem 2 em f.

Resposta

Os polos de 1l(e^i z-1r)^2 são
z=2pi k, kinZ,
cada um de ordem 2.

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