Determine os pólos, com suas respectivas ordens, no caso de cada uma das funções dadas:
cosh zz(1-cos z).

Passo 1

O enunciado pede os pólos e respectivas ordens da função
f(z)=cosh zz(1-cos z)
O método é localizar onde o denominador se anula e, em cada ponto, comparar a ordem do zero no denominador com a do numerador para determinar a ordem do pólo.

Passo 2

Procuramos os zeros do denominador
z(1-cos z)=0
Isso ocorre se z=0 ou cos z=1. A equação cos z=1 tem soluções
z=2pi k, kinZ
Portanto os candidatos a pólo são exatamente
z=2pi k, kinZ

Passo 3

Analisando z=0, usamos as séries de Taylor em torno de zero:
cosh z = 1 + z^22 + z^424 + cdots, 1-cos z = z^22 - z^424 + cdots
Multiplicando por z:
z(1-cos z) = z^32 - z^524 + cdots
Logo
f(z) =1+tfracz^22+cdotstfracz^32(1+cdots) =2z^3(1+cdots),
o que indica um pólo de ordem 3 em z=0.

Passo 4

Para z0=2pi k com kneq 0, ponhamos w=z-z0. Como cos z0=1 e sin z0=0,
cos(z0+w)=1-w^22+O(w^4), 1-cos z=w^22+O(w^4),
e z=z0+w=z0(1+O(w)). Portanto
z(1-cos z)=z0w^22+O(w^3),
enquanto cosh z=cosh z0+O(w)neq0. Assim
f(z)simcosh z0z0,tfracw^22 =2cosh z0z0,1w^2,
mostrando um pólo de ordem 2 em cada z0=2pi k com kneq0.

Resposta

Em z=0 há pólo de ordem 3.
Em z=2pi k, kinZsetminus0, há pólos de ordem 2.

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