Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDOs.
y^prime=x-e^-xy+e^y

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
y' = x - e^-xy + e^y
e pede a solução geral pelo método de separação de variáveis. Vamos usar a técnica de escrever todos os termos em y num lado e todos os termos em x no outro, para então integrar.

Passo 2

Reescrevendo y' = dydx e separando as variáveis, multiplicamos ambos os lados por (y + e^y),dx, obtendo
(y + e^y),dy = (x - e^-x),dx

Passo 3

Agora integramos cada membro:
integral (y + e^y),dy e integral (x - e^-x),dx
No lado esquerdo
integral y,dy + integral e^y,dy = y^22 + e^y,
e no lado direito
integral x,dx - integral e^-x,dx = x^22 - l(-e^-xr) = x^22 + e^-x

Passo 4

Incluindo a constante de integração C e igualando os resultados, obtemos
y^22 + e^y = x^22 + e^-x + C
Essa é a forma implícita da solução geral.

Resposta

y^22 + e^y = x^22 + e^-x + C,
onde C é constante arbitrária.

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