Determine os ponos da curva x^2+2 x y+3 y^2=3 nos quais as retas tangentes nesses pontos sejam perpendiculares à reta x+y=1

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
x^2+2xy+3y^2=3
e pede os pontos em que a reta tangente à curva é perpendicular à reta x+y=1.
Conteúdo: diferenciação implícita para achar a inclinação da tangente tfracdydx e condição de perpendicularidade entre retas (produto das inclinações igual a -1).

Passo 2

Diferenciando implicitamente em relação a x, temos
ddxl(x^2+2xy+3y^2r)=ddx(3)Longrightarrow 2x+2l(xdydx+ycdot1r)+6ydydx=0
Agrupando termos,
2x+2y+(2x+6y)dydx=0 Longrightarrow dydx=-2x+2y2x+6y=-x+y,x+3y,

Passo 3

A reta x+y=1 tem inclinação m1=-1. Para que a tangente seja perpendicular a ela, se mt é a inclinação da tangente, precisamos de
mtcdot m1=-1 Longrightarrow mtcdot(-1)=-1 Longrightarrow mt=1
Portanto impomos
dydx=1 Longrightarrow -x+yx+3y=1 Longrightarrow x+y=-(x+3y) Longrightarrow x+y=-x-3y
Longrightarrow 2x+4y=0 Longrightarrow x+2y=0

Passo 4

Agora resolvemos o sistema formado por
x+2y=0, x^2+2xy+3y^2=3
Da primeira equação, x=-2y. Substituindo na segunda:
(-2y)^2+2(-2y)y+3y^2=3 Longrightarrow 4y^2-4y^2+3y^2=3 Longrightarrow 3y^2=3 Longrightarrow y^2=1
Longrightarrow y=pm1, x=-2y
Logo os pontos são
(-2,,1) e (2,,-1)

Resposta

(-2,,1)e(2,,-1)

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