Encontre as coordenadas do vetor v=(a, b, c) sabendo que cv cdot(imath-k)=3 v cdot jmath=5

Passo 1

O enunciado pede para achar as coordenadas do vetor vec v=(a,b,c) sabendo que
vec vcdot(vecimath-vec k)=3 e vec vcdotvecjmath=5
O conteúdo envolvido é produto escalar em R^3 e vamos usar a definição
(x1,x2,x3)cdot(y1,y2,y3)=x1y1+x2y2+x3y3

Passo 2

Aplicamos a definição ao primeiro produto escalar. Como vecimath=(1,0,0) e vec k=(0,0,1), temos
vecimath-vec k=(1,0,-1),
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vec vcdot(vecimath-vec k) =(a,b,c)cdot(1,0,-1) =acdot1 + bcdot0 + ccdot(-1) =a - c

Passo 3

Igualando ao valor dado, obtemos
a - c = 3

Passo 4

Agora aplicamos ao segundo produto escalar. Como vecjmath=(0,1,0),
vec vcdotvecjmath =(a,b,c)cdot(0,1,0) = b
Igualando a 5, dá
b = 5

Passo 5

Temos duas equações para três incógnitas:
a - c = 3, b = 5
Isso gera infinitas soluções. Podemos escolher um parâmetro tin R para c, ou seja c=t. Daí
a = 3 + c = 3 + t, b = 5, c = t

Resposta

Todas as soluções são dadas por
vec v=(a,b,c)=(3+t,,5,,t), tin R

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